Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2123 / 2122
↖ ↑ ↗
← S  6.489983°
E  6.591797°		 ← 9 710.36 m → S  6.489983°
E  6.679688°		 →
↑
9 709.53 m
↓
↑
9 709.53 m
↓
S  6.577303°
E  6.591797°		 ← 9 708.66 m →
94 274 814 m²		 S  6.577303°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5184326171875 y=0.5181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5184326171875 × 212)
    floor (0.5184326171875 × 4096)
    floor (2123.5)     		tx = 2123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5181884765625 × 212)
    floor (0.5181884765625 × 4096)
    floor (2122.5)     		ty = 2122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2123 / 2122 ti = "12/2123/2122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2123/2122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2123 ÷ 212
    2123 ÷ 4096     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2122 ÷ 212
    2122 ÷ 4096     		y = 0.51806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113514578300293))-π/2
    2×atan(0.892691182396198)-π/2
    2×0.728762374621731-π/2
    1.45752474924346-1.57079632675     		φ = -0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2123 KachelY 2122 0.11504856 -0.11327158 6.591797 -6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 2124 KachelY 2122 0.11658254 -0.11327158 6.679688 -6.489983
    Unten links KachelX 2123 KachelY + 1 2123 0.11504856 -0.11479560 6.591797 -6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 2124 KachelY + 1 2123 0.11658254 -0.11479560 6.679688 -6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11327158--0.11479560) × R
    0.00152402 × 6371000     		dl = 9709.53142000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11327158--0.11479560) × R
    0.00152402 × 6371000     		dr = 9709.53142000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11658254) × cos(-0.11327158) × R
    0.00153398 × 0.993591630835469 × 6371000     		do = 9710.35767415538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11658254) × cos(-0.11479560) × R
    0.00153398 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 9708.66291074486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11327158)-sin(-0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993591630835469-0.993418217785461)×R²
    abs(0.11658254-0.11504856)×0.000173413050007953×R²
    0.00153398×0.000173413050007953×6371000²
    0.00153398×0.000173413050007953×40589641000000     		ar = 94274813.5045385m²