Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2117 / 2059
↖ ↑ ↗
← S  0.966751°
E  6.064453°		 ← 9 771.66 m → S  0.966751°
E  6.152344°		 →
↑
9 771.46 m
↓
↑
9 771.46 m
↓
S  1.054628°
E  6.064453°		 ← 9 771.39 m →
95 482 079 m²		 S  1.054628°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5169677734375 y=0.5028076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5169677734375 × 212)
    floor (0.5169677734375 × 4096)
    floor (2117.5)     		tx = 2117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5028076171875 × 212)
    floor (0.5028076171875 × 4096)
    floor (2059.5)     		ty = 2059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2117 / 2059 ti = "12/2117/2059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2117/2059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2117 ÷ 212
    2117 ÷ 4096     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2059 ÷ 212
    2059 ÷ 4096     		y = 0.502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.00537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0168737886662598))-π/2
    2×atan(0.983267776341331)-π/2
    2×0.776961669401252-π/2
    1.5539233388025-1.57079632675     		φ = -0.01687299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01687299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.966751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2117 KachelY 2059 0.10584467 -0.01687299 6.064453 -0.966751
    Oben rechts KachelX + 1 2118 KachelY 2059 0.10737866 -0.01687299 6.152344 -0.966751
    Unten links KachelX 2117 KachelY + 1 2060 0.10584467 -0.01840673 6.064453 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 2118 KachelY + 1 2060 0.10737866 -0.01840673 6.152344 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01687299--0.01840673) × R
    0.00153374 × 6371000     		dl = 9771.45753999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01687299--0.01840673) × R
    0.00153374 × 6371000     		dr = 9771.45753999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(-0.01687299) × R
    0.00153399 × 0.999857654481399 × 6371000     		do = 9771.65914008815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(-0.01840673) × R
    0.00153399 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 9771.39474435264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01687299)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999857654481399-0.999830600928244)×R²
    abs(0.10737866-0.10584467)×2.7053553155465e-05×R²
    0.00153399×2.7053553155465e-05×6371000²
    0.00153399×2.7053553155465e-05×40589641000000     		ar = 95482079.3342124m²