Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 209 / 237
↖ ↑ ↗
← S 82.118384°
E113.906250°		 ← 21.442 km → S 82.118384°
E115.312500°		 →
↑
21.184 km
↓
↑
21.184 km
↓
S 82.308893°
E113.906250°		 ← 20.927 km →
448.768 km²		 S 82.308893°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818359375 y=0.927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818359375 × 28)
    floor (0.818359375 × 256)
    floor (209.5)     		tx = 209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.927734375 × 28)
    floor (0.927734375 × 256)
    floor (237.5)     		ty = 237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 209 / 237 ti = "8/209/237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/209/237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 209 ÷ 28
    209 ÷ 256     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 237 ÷ 28
    237 ÷ 256     		y = 0.92578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92578125 × 2 - 1) × π
    -0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67526249399609))-π/2
    2×atan(0.0688887431396584)-π/2
    2×0.0687800782245093-π/2
    0.137560156449019-1.57079632675     		φ = -1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 209 KachelY 237 1.98803910 -1.43323617 113.906250 -82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 210 KachelY 237 2.01258279 -1.43323617 115.312500 -82.118384
    Unten links KachelX 209 KachelY + 1 238 1.98803910 -1.43656118 113.906250 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 210 KachelY + 1 238 2.01258279 -1.43656118 115.312500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43323617--1.43656118) × R
    0.00332500999999996 × 6371000     		dl = 21183.6387099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43323617--1.43656118) × R
    0.00332500999999996 × 6371000     		dr = 21183.6387099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-2.01258279) × cos(-1.43323617) × R
    0.0245436900000002 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 21442.2117986434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-2.01258279) × cos(-1.43656118) × R
    0.0245436900000002 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 20927.0810190419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43323617)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.133832377654437)×R²
    abs(2.01258279-1.98803910)×0.00329435227848143×R²
    0.0245436900000002×0.00329435227848143×6371000²
    0.0245436900000002×0.00329435227848143×40589641000000     		ar = 448768309.17779m²