Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2088 / 1976
↖ ↑ ↗
← N  6.315298°
E  3.515625°		 ← 9 713.68 m → N  6.315298°
E  3.603515°		 →
↑
9 714.50 m
↓
↑
9 714.50 m
↓
N  6.227934°
E  3.515625°		 ← 9 715.31 m →
94 371 481 m²		 N  6.227934°
E  3.603515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5098876953125 y=0.4825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5098876953125 × 212)
    floor (0.5098876953125 × 4096)
    floor (2088.5)     		tx = 2088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4825439453125 × 212)
    floor (0.4825439453125 × 4096)
    floor (1976.5)     		ty = 1976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2088 / 1976 ti = "12/2088/1976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2088/1976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2088 ÷ 212
    2088 ÷ 4096     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1976 ÷ 212
    1976 ÷ 4096     		y = 0.482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482421875 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110446616724609))-π/2
    2×atan(1.11677673026107)-π/2
    2×0.840509539766002-π/2
    1.681019079532-1.57079632675     		φ = 0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2088 KachelY 1976 0.06135923 0.11022275 3.515625 6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 2089 KachelY 1976 0.06289321 0.11022275 3.603515 6.315298
    Unten links KachelX 2088 KachelY + 1 1977 0.06135923 0.10869795 3.515625 6.227934
    Unten rechts KachelX + 1 2089 KachelY + 1 1977 0.06289321 0.10869795 3.603515 6.227934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11022275-0.10869795) × R
    0.00152479999999999 × 6371000     		dl = 9714.50079999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11022275-0.10869795) × R
    0.00152479999999999 × 6371000     		dr = 9714.50079999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06289321) × cos(0.11022275) × R
    0.00153398 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 9713.68038547195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06289321) × cos(0.10869795) × R
    0.00153398 × 0.994098192209149 × 6371000     		du = 9715.3082916623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11022275)-sin(0.10869795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.994098192209149)×R²
    abs(0.06289321-0.06135923)×0.000166572027600731×R²
    0.00153398×0.000166572027600731×6371000²
    0.00153398×0.000166572027600731×40589641000000     		ar = 94371481.3081988m²