Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20850 / 21346
↖ ↑ ↗
← S 47.768868°
E 49.064941°		 ← 821.09 m → S 47.768868°
E 49.075928°		 →
↑
821.03 m
↓
↑
821.03 m
↓
S 47.776252°
E 49.064941°		 ← 820.98 m →
674 094 m²		 S 47.776252°
E 49.075928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636306762695312 y=0.651443481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636306762695312 × 215)
    floor (0.636306762695312 × 32768)
    floor (20850.5)     		tx = 20850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651443481445312 × 215)
    floor (0.651443481445312 × 32768)
    floor (21346.5)     		ty = 21346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20850 / 21346 ti = "15/20850/21346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20850/21346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20850 ÷ 215
    20850 ÷ 32768     		x = 0.63629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21346 ÷ 215
    21346 ÷ 32768     		y = 0.65142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.951451583658875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85634477} λ = 0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951451583658875))-π/2
    2×atan(0.386180043757622)-π/2
    2×0.36853614660363-π/2
    0.737072293207261-1.57079632675     		φ = -0.83372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.768868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20850 KachelY 21346 0.85634477 -0.83372403 49.064941 -47.768868
    Oben rechts KachelX + 1 20851 KachelY 21346 0.85653652 -0.83372403 49.075928 -47.768868
    Unten links KachelX 20850 KachelY + 1 21347 0.85634477 -0.83385290 49.064941 -47.776252
    Unten rechts KachelX + 1 20851 KachelY + 1 21347 0.85653652 -0.83385290 49.075928 -47.776252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83372403--0.83385290) × R
    0.000128870000000059 × 6371000     		dl = 821.030770000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83372403--0.83385290) × R
    0.000128870000000059 × 6371000     		dr = 821.030770000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85634477-0.85653652) × cos(-0.83372403) × R
    0.000191750000000046 × 0.672123008141318 × 6371000     		do = 821.091847573701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85634477-0.85653652) × cos(-0.83385290) × R
    0.000191750000000046 × 0.672027582121321 × 6371000     		du = 820.975271402201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83372403)-sin(-0.83385290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672123008141318-0.672027582121321)×R²
    abs(0.85653652-0.85634477)×9.54260199975687e-05×R²
    0.000191750000000046×9.54260199975687e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.54260199975687e-05×40589641000000     		ar = 674093.816475747m²