Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20848 / 21352
↖ ↑ ↗
← S 47.813154°
E 49.042969°		 ← 820.39 m → S 47.813154°
E 49.053955°		 →
↑
820.33 m
↓
↑
820.33 m
↓
S 47.820532°
E 49.042969°		 ← 820.28 m →
672 945 m²		 S 47.820532°
E 49.053955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636245727539062 y=0.651626586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636245727539062 × 215)
    floor (0.636245727539062 × 32768)
    floor (20848.5)     		tx = 20848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651626586914062 × 215)
    floor (0.651626586914062 × 32768)
    floor (21352.5)     		ty = 21352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20848 / 21352 ti = "15/20848/21352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20848/21352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20848 ÷ 215
    20848 ÷ 32768     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21352 ÷ 215
    21352 ÷ 32768     		y = 0.651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952602069249756))-π/2
    2×atan(0.385736004661062)-π/2
    2×0.368149677358761-π/2
    0.736299354717523-1.57079632675     		φ = -0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20848 KachelY 21352 0.85596128 -0.83449697 49.042969 -47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 20849 KachelY 21352 0.85615303 -0.83449697 49.053955 -47.813154
    Unten links KachelX 20848 KachelY + 1 21353 0.85596128 -0.83462573 49.042969 -47.820532
    Unten rechts KachelX + 1 20849 KachelY + 1 21353 0.85615303 -0.83462573 49.053955 -47.820532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83449697--0.83462573) × R
    0.00012875999999995 × 6371000     		dl = 820.329959999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83449697--0.83462573) × R
    0.00012875999999995 × 6371000     		dr = 820.329959999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85615303) × cos(-0.83449697) × R
    0.000191749999999935 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 820.392439519685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85615303) × cos(-0.83462573) × R
    0.000191749999999935 × 0.671455080690185 × 6371000     		du = 820.275881182769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83449697)-sin(-0.83462573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.671455080690185)×R²
    abs(0.85615303-0.85596128)×9.54114211016988e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54114211016988e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54114211016988e-05×40589641000000     		ar = 672944.6898767m²