Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20842 / 21338
↖ ↑ ↗
← S 47.709761°
E 48.977051°		 ← 822.02 m → S 47.709761°
E 48.988037°		 →
↑
821.99 m
↓
↑
821.99 m
↓
S 47.717154°
E 48.977051°		 ← 821.91 m →
675 645 m²		 S 47.717154°
E 48.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636062622070312 y=0.651199340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636062622070312 × 215)
    floor (0.636062622070312 × 32768)
    floor (20842.5)     		tx = 20842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651199340820312 × 215)
    floor (0.651199340820312 × 32768)
    floor (21338.5)     		ty = 21338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20842 / 21338 ti = "15/20842/21338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20842/21338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20842 ÷ 215
    20842 ÷ 32768     		x = 0.63604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21338 ÷ 215
    21338 ÷ 32768     		y = 0.65118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63604736328125 × 2 - 1) × π
    0.2720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85481079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85481079} λ = 0.85481079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949917602871033))-π/2
    2×atan(0.386772891117372)-π/2
    2×0.369051951276134-π/2
    0.738103902552268-1.57079632675     		φ = -0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85481079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20842 KachelY 21338 0.85481079 -0.83269242 48.977051 -47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 20843 KachelY 21338 0.85500254 -0.83269242 48.988037 -47.709761
    Unten links KachelX 20842 KachelY + 1 21339 0.85481079 -0.83282144 48.977051 -47.717154
    Unten rechts KachelX + 1 20843 KachelY + 1 21339 0.85500254 -0.83282144 48.988037 -47.717154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83269242--0.83282144) × R
    0.000129020000000035 × 6371000     		dl = 821.986420000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83269242--0.83282144) × R
    0.000129020000000035 × 6371000     		dr = 821.986420000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85481079-0.85500254) × cos(-0.83269242) × R
    0.000191749999999935 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 822.024553283904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85481079-0.85500254) × cos(-0.83282144) × R
    0.000191749999999935 × 0.672791047565451 × 6371000     		du = 821.907950754294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83269242)-sin(-0.83282144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.672791047565451)×R²
    abs(0.85500254-0.85481079)×9.54475960152079e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54475960152079e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54475960152079e-05×40589641000000     		ar = 675645.097794876m²