Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20838 / 21361
↖ ↑ ↗
← S 47.879513°
E 48.933105°		 ← 819.34 m → S 47.879513°
E 48.944092°		 →
↑
819.31 m
↓
↑
819.31 m
↓
S 47.886881°
E 48.933105°		 ← 819.23 m →
671 249 m²		 S 47.886881°
E 48.944092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635940551757812 y=0.651901245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635940551757812 × 215)
    floor (0.635940551757812 × 32768)
    floor (20838.5)     		tx = 20838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651901245117188 × 215)
    floor (0.651901245117188 × 32768)
    floor (21361.5)     		ty = 21361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20838 / 21361 ti = "15/20838/21361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20838/21361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20838 ÷ 215
    20838 ÷ 32768     		x = 0.63592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21361 ÷ 215
    21361 ÷ 32768     		y = 0.651885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63592529296875 × 2 - 1) × π
    0.2718505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85404380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.30377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.954327797636078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85404380} λ = 0.85404380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954327797636078))-π/2
    2×atan(0.385070903145538)-π/2
    2×0.367570590932098-π/2
    0.735141181864195-1.57079632675     		φ = -0.83565514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85404380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83565514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.879513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20838 KachelY 21361 0.85404380 -0.83565514 48.933105 -47.879513
    Oben rechts KachelX + 1 20839 KachelY 21361 0.85423555 -0.83565514 48.944092 -47.879513
    Unten links KachelX 20838 KachelY + 1 21362 0.85404380 -0.83578374 48.933105 -47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 20839 KachelY + 1 21362 0.85423555 -0.83578374 48.944092 -47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83565514--0.83578374) × R
    0.000128600000000034 × 6371000     		dl = 819.310600000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83565514--0.83578374) × R
    0.000128600000000034 × 6371000     		dr = 819.310600000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85404380-0.85423555) × cos(-0.83565514) × R
    0.000191749999999935 × 0.670691885660339 × 6371000     		do = 819.343532178905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85404380-0.85423555) × cos(-0.83578374) × R
    0.000191749999999935 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 819.226996585354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83565514)-sin(-0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670691885660339-0.670596492856325)×R²
    abs(0.85423555-0.85404380)×9.53928040141605e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53928040141605e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53928040141605e-05×40589641000000     		ar = 671249.102457901m²