Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20816 / 21296
↖ ↑ ↗
← S 47.398349°
E 48.691406°		 ← 826.88 m → S 47.398349°
E 48.702392°		 →
↑
826.89 m
↓
↑
826.89 m
↓
S 47.405785°
E 48.691406°		 ← 826.76 m →
683 693 m²		 S 47.405785°
E 48.702392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635269165039062 y=0.649917602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635269165039062 × 215)
    floor (0.635269165039062 × 32768)
    floor (20816.5)     		tx = 20816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649917602539062 × 215)
    floor (0.649917602539062 × 32768)
    floor (21296.5)     		ty = 21296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20816 / 21296 ti = "15/20816/21296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20816/21296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20816 ÷ 215
    20816 ÷ 32768     		x = 0.63525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21296 ÷ 215
    21296 ÷ 32768     		y = 0.64990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84982536} λ = 0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941864203734863))-π/2
    2×atan(0.389900303833094)-π/2
    2×0.371769536628414-π/2
    0.743539073256829-1.57079632675     		φ = -0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20816 KachelY 21296 0.84982536 -0.82725725 48.691406 -47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 20817 KachelY 21296 0.85001710 -0.82725725 48.702392 -47.398349
    Unten links KachelX 20816 KachelY + 1 21297 0.84982536 -0.82738704 48.691406 -47.405785
    Unten rechts KachelX + 1 20817 KachelY + 1 21297 0.85001710 -0.82738704 48.702392 -47.405785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82725725--0.82738704) × R
    0.000129789999999907 × 6371000     		dl = 826.892089999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82725725--0.82738704) × R
    0.000129789999999907 × 6371000     		dr = 826.892089999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84982536-0.85001710) × cos(-0.82725725) × R
    0.000191739999999996 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 826.881038631279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84982536-0.85001710) × cos(-0.82738704) × R
    0.000191739999999996 × 0.676801639156542 × 6371000     		du = 826.764327825519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82725725)-sin(-0.82738704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.676801639156542)×R²
    abs(0.85001710-0.84982536)×9.55412104592934e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55412104592934e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55412104592934e-05×40589641000000     		ar = 683693.137553815m²