Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20815 / 21295
↖ ↑ ↗
← S 47.390912°
E 48.680420°		 ← 827.04 m → S 47.390912°
E 48.691406°		 →
↑
826.96 m
↓
↑
826.96 m
↓
S 47.398349°
E 48.680420°		 ← 826.92 m →
683 878 m²		 S 47.398349°
E 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635238647460938 y=0.649887084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635238647460938 × 215)
    floor (0.635238647460938 × 32768)
    floor (20815.5)     		tx = 20815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649887084960938 × 215)
    floor (0.649887084960938 × 32768)
    floor (21295.5)     		ty = 21295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20815 / 21295 ti = "15/20815/21295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20815/21295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20815 ÷ 215
    20815 ÷ 32768     		x = 0.635223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21295 ÷ 215
    21295 ÷ 32768     		y = 0.649871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.635223388671875 × 2 - 1) × π
    0.27044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84963361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.29974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.941672456136383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84963361} λ = 0.84963361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941672456136383))-π/2
    2×atan(0.389975073448219)-π/2
    2×0.371834437912371-π/2
    0.743668875824742-1.57079632675     		φ = -0.82712745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84963361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.680420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82712745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.390912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20815 KachelY 21295 0.84963361 -0.82712745 48.680420 -47.390912
    Oben rechts KachelX + 1 20816 KachelY 21295 0.84982536 -0.82712745 48.691406 -47.390912
    Unten links KachelX 20815 KachelY + 1 21296 0.84963361 -0.82725725 48.680420 -47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 20816 KachelY + 1 21296 0.84982536 -0.82725725 48.691406 -47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82712745--0.82725725) × R
    0.000129800000000069 × 6371000     		dl = 826.955800000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82712745--0.82725725) × R
    0.000129800000000069 × 6371000     		dr = 826.955800000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84963361-0.84982536) × cos(-0.82712745) × R
    0.000191749999999935 × 0.676992717534724 × 6371000     		do = 827.040875704302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84963361-0.84982536) × cos(-0.82725725) × R
    0.000191749999999935 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 826.924163750378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82712745)-sin(-0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676992717534724-0.676897180367001)×R²
    abs(0.84982536-0.84963361)×9.55371677230366e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55371677230366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55371677230366e-05×40589641000000     		ar = 683877.992147252m²