Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20783 / 21343
↖ ↑ ↗
← S 47.746711°
E 48.328858°		 ← 821.40 m → S 47.746711°
E 48.339844°		 →
↑
821.35 m
↓
↑
821.35 m
↓
S 47.754098°
E 48.328858°		 ← 821.28 m →
674 607 m²		 S 47.754098°
E 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634262084960938 y=0.651351928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634262084960938 × 215)
    floor (0.634262084960938 × 32768)
    floor (20783.5)     		tx = 20783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651351928710938 × 215)
    floor (0.651351928710938 × 32768)
    floor (21343.5)     		ty = 21343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20783 / 21343 ti = "15/20783/21343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20783/21343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20783 ÷ 215
    20783 ÷ 32768     		x = 0.634246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21343 ÷ 215
    21343 ÷ 32768     		y = 0.651336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634246826171875 × 2 - 1) × π
    0.26849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84349769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.30267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950876340863434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84349769} λ = 0.84349769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950876340863434))-π/2
    2×atan(0.386402254952103)-π/2
    2×0.368729504732922-π/2
    0.737459009465844-1.57079632675     		φ = -0.83333732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84349769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.328858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83333732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.746711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20783 KachelY 21343 0.84349769 -0.83333732 48.328858 -47.746711
    Oben rechts KachelX + 1 20784 KachelY 21343 0.84368943 -0.83333732 48.339844 -47.746711
    Unten links KachelX 20783 KachelY + 1 21344 0.84349769 -0.83346624 48.328858 -47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 20784 KachelY + 1 21344 0.84368943 -0.83346624 48.339844 -47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83333732--0.83346624) × R
    0.000128919999999977 × 6371000     		dl = 821.349319999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83333732--0.83346624) × R
    0.000128919999999977 × 6371000     		dr = 821.349319999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84349769-0.84368943) × cos(-0.83333732) × R
    0.000191739999999996 × 0.672409293239325 × 6371000     		do = 821.398745489829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84349769-0.84368943) × cos(-0.83346624) × R
    0.000191739999999996 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 821.282171106416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83333732)-sin(-0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672409293239325-0.672313863706238)×R²
    abs(0.84368943-0.84349769)×9.54295330870547e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54295330870547e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54295330870547e-05×40589641000000     		ar = 674607.427846096m²