Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20782 / 21340
↖ ↑ ↗
← S 47.724545°
E 48.317871°		 ← 821.79 m → S 47.724545°
E 48.328858°		 →
↑
821.67 m
↓
↑
821.67 m
↓
S 47.731934°
E 48.317871°		 ← 821.67 m →
675 192 m²		 S 47.731934°
E 48.328858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634231567382812 y=0.651260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634231567382812 × 215)
    floor (0.634231567382812 × 32768)
    floor (20782.5)     		tx = 20782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651260375976562 × 215)
    floor (0.651260375976562 × 32768)
    floor (21340.5)     		ty = 21340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20782 / 21340 ti = "15/20782/21340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20782/21340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20782 ÷ 215
    20782 ÷ 32768     		x = 0.63421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21340 ÷ 215
    21340 ÷ 32768     		y = 0.6512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84330594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950301098067993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84330594} λ = 0.84330594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950301098067993))-π/2
    2×atan(0.386624594008746)-π/2
    2×0.368922945208333-π/2
    0.737845890416666-1.57079632675     		φ = -0.83295044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84330594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83295044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.724545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20782 KachelY 21340 0.84330594 -0.83295044 48.317871 -47.724545
    Oben rechts KachelX + 1 20783 KachelY 21340 0.84349769 -0.83295044 48.328858 -47.724545
    Unten links KachelX 20782 KachelY + 1 21341 0.84330594 -0.83307941 48.317871 -47.731934
    Unten rechts KachelX + 1 20783 KachelY + 1 21341 0.84349769 -0.83307941 48.328858 -47.731934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83295044--0.83307941) × R
    0.000128970000000006 × 6371000     		dl = 821.667870000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83295044--0.83307941) × R
    0.000128970000000006 × 6371000     		dr = 821.667870000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84330594-0.84349769) × cos(-0.83295044) × R
    0.000191749999999935 × 0.672695603568435 × 6371000     		do = 821.791352621362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84330594-0.84349769) × cos(-0.83307941) × R
    0.000191749999999935 × 0.672600170577275 × 6371000     		du = 821.674767933616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83295044)-sin(-0.83307941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672695603568435-0.672600170577275)×R²
    abs(0.84349769-0.84330594)×9.54329911605489e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54329911605489e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54329911605489e-05×40589641000000     		ar = 675191.654283132m²