Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 206 / 238
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E109.687500°		 ← 20.927 km → S 82.308893°
E111.093750°		 →
↑
20.675 km
↓
↑
20.675 km
↓
S 82.494824°
E109.687500°		 ← 20.424 km →
427.460 km²		 S 82.494824°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806640625 y=0.931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806640625 × 28)
    floor (0.806640625 × 256)
    floor (206.5)     		tx = 206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931640625 × 28)
    floor (0.931640625 × 256)
    floor (238.5)     		ty = 238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 206 / 238 ti = "8/206/238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/206/238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 206 ÷ 28
    206 ÷ 256     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 238 ÷ 28
    238 ÷ 256     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 206 KachelY 238 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 207 KachelY 238 1.93895172 -1.43656118 111.093750 -82.308893
    Unten links KachelX 206 KachelY + 1 239 1.91440802 -1.43980629 109.687500 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 207 KachelY + 1 239 1.93895172 -1.43980629 111.093750 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43980629) × R
    0.00324510999999994 × 6371000     		dl = 20674.5958099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43980629) × R
    0.00324510999999994 × 6371000     		dr = 20674.5958099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(-1.43656118) × R
    0.0245436999999999 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 20927.0895455024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(-1.43980629) × R
    0.0245436999999999 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 20424.1140206529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.130615761686591)×R²
    abs(1.93895172-1.91440802)×0.00321661596784589×R²
    0.0245436999999999×0.00321661596784589×6371000²
    0.0245436999999999×0.00321661596784589×40589641000000     		ar = 427460085.116239m²