Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2052 / 1468
↖ ↑ ↗
← N 45.336702°
E  0.351562°		 ← 6 869.82 m → N 45.336702°
E  0.439453°		 →
↑
6 873.54 m
↓
↑
6 873.54 m
↓
N 45.274887°
E  0.351562°		 ← 6 877.31 m →
47 245 749 m²		 N 45.274887°
E  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5010986328125 y=0.3585205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5010986328125 × 212)
    floor (0.5010986328125 × 4096)
    floor (2052.5)     		tx = 2052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3585205078125 × 212)
    floor (0.3585205078125 × 4096)
    floor (1468.5)     		ty = 1468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2052 / 1468 ti = "12/2052/1468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2052/1468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2052 ÷ 212
    2052 ÷ 4096     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1468 ÷ 212
    1468 ÷ 4096     		y = 0.3583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889708856948242))-π/2
    2×atan(2.43442078340776)-π/2
    2×1.18103552355058-π/2
    2.36207104710117-1.57079632675     		φ = 0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2052 KachelY 1468 0.00613592 0.79127472 0.351562 45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 2053 KachelY 1468 0.00766990 0.79127472 0.439453 45.336702
    Unten links KachelX 2052 KachelY + 1 1469 0.00613592 0.79019584 0.351562 45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 2053 KachelY + 1 1469 0.00766990 0.79019584 0.439453 45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79127472-0.79019584) × R
    0.00107888 × 6371000     		dl = 6873.54448000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79127472-0.79019584) × R
    0.00107888 × 6371000     		dr = 6873.54448000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00766990) × cos(0.79127472) × R
    0.00153398 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 6869.81578381179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00766990) × cos(0.79019584) × R
    0.00153398 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 6877.31111761997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79127472)-sin(0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.703706186570858)×R²
    abs(0.00766990-0.00613592)×0.00076694403975941×R²
    0.00153398×0.00076694403975941×6371000²
    0.00153398×0.00076694403975941×40589641000000     		ar = 47245748.6973613m²