Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2046 / 1515
↖ ↑ ↗
← N 42.358544°
W  0.175781°		 ← 7 221.68 m → N 42.358544°
W  0.087891°		 →
↑
7 225.41 m
↓
↑
7 225.41 m
↓
N 42.293564°
W  0.175781°		 ← 7 229.14 m →
52 206 604 m²		 N 42.293564°
W  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4996337890625 y=0.3699951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4996337890625 × 212)
    floor (0.4996337890625 × 4096)
    floor (2046.5)     		tx = 2046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3699951171875 × 212)
    floor (0.3699951171875 × 4096)
    floor (1515.5)     		ty = 1515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2046 / 1515 ti = "12/2046/1515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2046/1515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2046 ÷ 212
    2046 ÷ 4096     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1515 ÷ 212
    1515 ÷ 4096     		y = 0.369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369873046875 × 2 - 1) × π
    0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817611759919678))-π/2
    2×atan(2.2650838087808)-π/2
    2×1.15504619224428-π/2
    2.31009238448857-1.57079632675     		φ = 0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2046 KachelY 1515 -0.00306796 0.73929606 -0.175781 42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 2047 KachelY 1515 -0.00153398 0.73929606 -0.087891 42.358544
    Unten links KachelX 2046 KachelY + 1 1516 -0.00306796 0.73816195 -0.175781 42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 2047 KachelY + 1 1516 -0.00153398 0.73816195 -0.087891 42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73929606-0.73816195) × R
    0.00113411000000008 × 6371000     		dl = 7225.41481000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73929606-0.73816195) × R
    0.00113411000000008 × 6371000     		dr = 7225.41481000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00153398) × cos(0.73929606) × R
    0.00153398 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 7221.68035423335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00153398) × cos(0.73816195) × R
    0.00153398 × 0.739706685496696 × 6371000     		du = 7229.14351049549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73929606)-sin(0.73816195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.739706685496696)×R²
    abs(-0.00153398--0.00306796)×0.00076365154101532×R²
    0.00153398×0.00076365154101532×6371000²
    0.00153398×0.00076365154101532×40589641000000     		ar = 52206603.9801573m²