Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2043 / 1500
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
W  0.439453°		 ← 7 109.57 m → N 43.325178°
W  0.351562°		 →
↑
7 113.29 m
↓
↑
7 113.29 m
↓
N 43.261206°
W  0.439453°		 ← 7 117.05 m →
50 598 998 m²		 N 43.261206°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4989013671875 y=0.3663330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4989013671875 × 212)
    floor (0.4989013671875 × 4096)
    floor (2043.5)     		tx = 2043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3663330078125 × 212)
    floor (0.3663330078125 × 4096)
    floor (1500.5)     		ty = 1500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2043 / 1500 ti = "12/2043/1500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2043/1500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2043 ÷ 212
    2043 ÷ 4096     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1500 ÷ 212
    1500 ÷ 4096     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2043 KachelY 1500 -0.00766990 0.75616700 -0.439453 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 2044 KachelY 1500 -0.00613592 0.75616700 -0.351562 43.325178
    Unten links KachelX 2043 KachelY + 1 1501 -0.00766990 0.75505049 -0.439453 43.261206
    Unten rechts KachelX + 1 2044 KachelY + 1 1501 -0.00613592 0.75505049 -0.351562 43.261206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75505049) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dl = 7113.2852100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75505049) × R
    0.00111651000000001 × 6371000     		dr = 7113.2852100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00613592) × cos(0.75616700) × R
    0.00153398 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 7109.56740445375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00613592) × cos(0.75505049) × R
    0.00153398 × 0.728236942029552 × 6371000     		du = 7117.04986151505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75505049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.728236942029552)×R²
    abs(-0.00613592--0.00766990)×0.000765626454109158×R²
    0.00153398×0.000765626454109158×6371000²
    0.00153398×0.000765626454109158×40589641000000     		ar = 50598998.3495448m²