Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2043 / 1421
↖ ↑ ↗
← N 48.166086°
W  0.439453°		 ← 6 518.32 m → N 48.166086°
W  0.351562°		 →
↑
6 522.06 m
↓
↑
6 522.06 m
↓
N 48.107431°
W  0.439453°		 ← 6 525.78 m →
42 537 179 m²		 N 48.107431°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4989013671875 y=0.3470458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4989013671875 × 212)
    floor (0.4989013671875 × 4096)
    floor (2043.5)     		tx = 2043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3470458984375 × 212)
    floor (0.3470458984375 × 4096)
    floor (1421.5)     		ty = 1421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2043 / 1421 ti = "12/2043/1421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2043/1421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2043 ÷ 212
    2043 ÷ 4096     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1421 ÷ 212
    1421 ÷ 4096     		y = 0.346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961805953976807))-π/2
    2×atan(2.61641733860505)-π/2
    2×1.20572655256758-π/2
    2.41145310513516-1.57079632675     		φ = 0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2043 KachelY 1421 -0.00766990 0.84065678 -0.439453 48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 2044 KachelY 1421 -0.00613592 0.84065678 -0.351562 48.166086
    Unten links KachelX 2043 KachelY + 1 1422 -0.00766990 0.83963307 -0.439453 48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 2044 KachelY + 1 1422 -0.00613592 0.83963307 -0.351562 48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84065678-0.83963307) × R
    0.00102371000000001 × 6371000     		dl = 6522.05641000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84065678-0.83963307) × R
    0.00102371000000001 × 6371000     		dr = 6522.05641000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00613592) × cos(0.84065678) × R
    0.00153398 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 6518.32419065915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00613592) × cos(0.83963307) × R
    0.00153398 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 6525.77509210041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84065678)-sin(0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.667736012802383)×R²
    abs(-0.00613592--0.00766990)×0.00076239759261576×R²
    0.00153398×0.00076239759261576×6371000²
    0.00153398×0.00076239759261576×40589641000000     		ar = 42537179.3847561m²