Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2042 / 1514
↖ ↑ ↗
← N 42.423457°
W  0.527343°		 ← 7 214.22 m → N 42.423457°
W  0.439453°		 →
↑
7 217.96 m
↓
↑
7 217.96 m
↓
N 42.358544°
W  0.527343°		 ← 7 221.68 m →
52 098 871 m²		 N 42.358544°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4986572265625 y=0.3697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4986572265625 × 212)
    floor (0.4986572265625 × 4096)
    floor (2042.5)     		tx = 2042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3697509765625 × 212)
    floor (0.3697509765625 × 4096)
    floor (1514.5)     		ty = 1514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2042 / 1514 ti = "12/2042/1514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2042/1514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2042 ÷ 212
    2042 ÷ 4096     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1514 ÷ 212
    1514 ÷ 4096     		y = 0.36962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36962890625 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81914574070752))-π/2
    2×atan(2.26856107017054)-π/2
    2×1.15561266154614-π/2
    2.31122532309229-1.57079632675     		φ = 0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2042 KachelY 1514 -0.00920388 0.74042900 -0.527343 42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 2043 KachelY 1514 -0.00766990 0.74042900 -0.439453 42.423457
    Unten links KachelX 2042 KachelY + 1 1515 -0.00920388 0.73929606 -0.527343 42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 2043 KachelY + 1 1515 -0.00766990 0.73929606 -0.439453 42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74042900-0.73929606) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dl = 7217.96073999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74042900-0.73929606) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dr = 7217.96073999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(0.74042900) × R
    0.00153398 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 7214.2156231078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(0.73929606) × R
    0.00153398 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 7221.68035423335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74042900)-sin(0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.738943033955681)×R²
    abs(-0.00766990--0.00920388)×0.000763812685553256×R²
    0.00153398×0.000763812685553256×6371000²
    0.00153398×0.000763812685553256×40589641000000     		ar = 52098870.7782263m²