Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2042 / 1419
↖ ↑ ↗
← N 48.283193°
W  0.527343°		 ← 6 503.43 m → N 48.283193°
W  0.439453°		 →
↑
6 507.15 m
↓
↑
6 507.15 m
↓
N 48.224673°
W  0.527343°		 ← 6 510.87 m →
42 343 002 m²		 N 48.224673°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4986572265625 y=0.3465576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4986572265625 × 212)
    floor (0.4986572265625 × 4096)
    floor (2042.5)     		tx = 2042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3465576171875 × 212)
    floor (0.3465576171875 × 4096)
    floor (1419.5)     		ty = 1419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2042 / 1419 ti = "12/2042/1419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2042/1419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2042 ÷ 212
    2042 ÷ 4096     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1419 ÷ 212
    1419 ÷ 4096     		y = 0.346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96487391555249))-π/2
    2×atan(2.6244567324357)-π/2
    2×1.20674850808913-π/2
    2.41349701617827-1.57079632675     		φ = 0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2042 KachelY 1419 -0.00920388 0.84270069 -0.527343 48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 2043 KachelY 1419 -0.00766990 0.84270069 -0.439453 48.283193
    Unten links KachelX 2042 KachelY + 1 1420 -0.00920388 0.84167932 -0.527343 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 2043 KachelY + 1 1420 -0.00766990 0.84167932 -0.439453 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84270069-0.84167932) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dl = 6507.14827000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84270069-0.84167932) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dr = 6507.14827000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(0.84270069) × R
    0.00153398 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 6503.42750774274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(0.84167932) × R
    0.00153398 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 6510.8749854831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84270069)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.00766990--0.00920388)×0.000762047269726174×R²
    0.00153398×0.000762047269726174×6371000²
    0.00153398×0.000762047269726174×40589641000000     		ar = 42343001.6580333m²