Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2039 / 1429
↖ ↑ ↗
← N 47.694974°
W  0.791016°		 ← 6 577.98 m → N 47.694974°
W  0.703125°		 →
↑
6 581.69 m
↓
↑
6 581.69 m
↓
N 47.635784°
W  0.791016°		 ← 6 585.44 m →
43 318 758 m²		 N 47.635784°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4979248046875 y=0.3489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4979248046875 × 212)
    floor (0.4979248046875 × 4096)
    floor (2039.5)     		tx = 2039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3489990234375 × 212)
    floor (0.3489990234375 × 4096)
    floor (1429.5)     		ty = 1429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2039 / 1429 ti = "12/2039/1429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2039/1429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2039 ÷ 212
    2039 ÷ 4096     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1429 ÷ 212
    1429 ÷ 4096     		y = 0.348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348876953125 × 2 - 1) × π
    0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949534107674072))-π/2
    2×atan(2.58450527760638)-π/2
    2×1.20161533284818-π/2
    2.40323066569635-1.57079632675     		φ = 0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2039 KachelY 1429 -0.01380583 0.83243434 -0.791016 47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 2040 KachelY 1429 -0.01227185 0.83243434 -0.703125 47.694974
    Unten links KachelX 2039 KachelY + 1 1430 -0.01380583 0.83140127 -0.791016 47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 2040 KachelY + 1 1430 -0.01227185 0.83140127 -0.703125 47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83243434-0.83140127) × R
    0.00103307000000008 × 6371000     		dl = 6581.68897000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83243434-0.83140127) × R
    0.00103307000000008 × 6371000     		dr = 6581.68897000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01227185) × cos(0.83243434) × R
    0.00153398 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 6577.97626392276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01227185) × cos(0.83140127) × R
    0.00153398 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 6585.43960455996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83243434)-sin(0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.01227185--0.01380583)×0.000763670406800143×R²
    0.00153398×0.000763670406800143×6371000²
    0.00153398×0.000763670406800143×40589641000000     		ar = 43318758.3671625m²