Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2038 / 1501
↖ ↑ ↗
← N 43.261206°
W  0.878906°		 ← 7 117.05 m → N 43.261206°
W  0.791016°		 →
↑
7 120.80 m
↓
↑
7 120.80 m
↓
N 43.197167°
W  0.878906°		 ← 7 124.53 m →
50 705 752 m²		 N 43.197167°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4976806640625 y=0.3665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4976806640625 × 212)
    floor (0.4976806640625 × 4096)
    floor (2038.5)     		tx = 2038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3665771484375 × 212)
    floor (0.3665771484375 × 4096)
    floor (1501.5)     		ty = 1501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2038 / 1501 ti = "12/2038/1501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2038/1501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2038 ÷ 212
    2038 ÷ 4096     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1501 ÷ 212
    1501 ÷ 4096     		y = 0.366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366455078125 × 2 - 1) × π
    0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839087490949463))-π/2
    2×atan(2.31425423504499)-π/2
    2×1.16292340601956-π/2
    2.32584681203912-1.57079632675     		φ = 0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2038 KachelY 1501 -0.01533981 0.75505049 -0.878906 43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 2039 KachelY 1501 -0.01380583 0.75505049 -0.791016 43.261206
    Unten links KachelX 2038 KachelY + 1 1502 -0.01533981 0.75393280 -0.878906 43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 2039 KachelY + 1 1502 -0.01380583 0.75393280 -0.791016 43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75505049-0.75393280) × R
    0.00111769000000006 × 6371000     		dl = 7120.80299000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75505049-0.75393280) × R
    0.00111769000000006 × 6371000     		dr = 7120.80299000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(0.75505049) × R
    0.00153398 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 7117.04986151505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(0.75393280) × R
    0.00153398 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 7124.53134037307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75505049)-sin(0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.729002468391097)×R²
    abs(-0.01380583--0.01533981)×0.000765526361545255×R²
    0.00153398×0.000765526361545255×6371000²
    0.00153398×0.000765526361545255×40589641000000     		ar = 50705752.2809673m²