Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2038 / 1428
↖ ↑ ↗
← N 47.754098°
W  0.878906°		 ← 6 570.51 m → N 47.754098°
W  0.791016°		 →
↑
6 574.23 m
↓
↑
6 574.23 m
↓
N 47.694974°
W  0.878906°		 ← 6 577.98 m →
43 220 637 m²		 N 47.694974°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4976806640625 y=0.3487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4976806640625 × 212)
    floor (0.4976806640625 × 4096)
    floor (2038.5)     		tx = 2038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3487548828125 × 212)
    floor (0.3487548828125 × 4096)
    floor (1428.5)     		ty = 1428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2038 / 1428 ti = "12/2038/1428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2038/1428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2038 ÷ 212
    2038 ÷ 4096     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1428 ÷ 212
    1428 ÷ 4096     		y = 0.3486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951068088461914))-π/2
    2×atan(2.58847290139962)-π/2
    2×1.202131283921-π/2
    2.40426256784201-1.57079632675     		φ = 0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2038 KachelY 1428 -0.01533981 0.83346624 -0.878906 47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 2039 KachelY 1428 -0.01380583 0.83346624 -0.791016 47.754098
    Unten links KachelX 2038 KachelY + 1 1429 -0.01533981 0.83243434 -0.878906 47.694974
    Unten rechts KachelX + 1 2039 KachelY + 1 1429 -0.01380583 0.83243434 -0.791016 47.694974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83346624-0.83243434) × R
    0.00103189999999997 × 6371000     		dl = 6574.23489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83346624-0.83243434) × R
    0.00103189999999997 × 6371000     		dr = 6574.23489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(0.83346624) × R
    0.00153398 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 6570.51436754902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01380583) × cos(0.83243434) × R
    0.00153398 × 0.673077386331862 × 6371000     		du = 6577.97626392276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83346624)-sin(0.83243434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.673077386331862)×R²
    abs(-0.01380583--0.01533981)×0.000763522625623736×R²
    0.00153398×0.000763522625623736×6371000²
    0.00153398×0.000763522625623736×40589641000000     		ar = 43220636.8310452m²