Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2036 / 1425
↖ ↑ ↗
← N 47.931066°
W  1.054688°		 ← 6 548.14 m → N 47.931066°
W  0.966797°		 →
↑
6 551.87 m
↓
↑
6 551.87 m
↓
N 47.872144°
W  1.054688°		 ← 6 555.60 m →
42 926 998 m²		 N 47.872144°
W  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4971923828125 y=0.3480224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4971923828125 × 212)
    floor (0.4971923828125 × 4096)
    floor (2036.5)     		tx = 2036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3480224609375 × 212)
    floor (0.3480224609375 × 4096)
    floor (1425.5)     		ty = 1425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2036 / 1425 ti = "12/2036/1425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2036/1425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2036 ÷ 212
    2036 ÷ 4096     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1425 ÷ 212
    1425 ÷ 4096     		y = 0.347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955670030825439))-π/2
    2×atan(2.60041235577083)-π/2
    2×1.20367562426625-π/2
    2.40735124853249-1.57079632675     		φ = 0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2036 KachelY 1425 -0.01840777 0.83655492 -1.054688 47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 2037 KachelY 1425 -0.01687379 0.83655492 -0.966797 47.931066
    Unten links KachelX 2036 KachelY + 1 1426 -0.01840777 0.83552653 -1.054688 47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 2037 KachelY + 1 1426 -0.01687379 0.83552653 -0.966797 47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83655492-0.83552653) × R
    0.00102838999999999 × 6371000     		dl = 6551.87268999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83655492-0.83552653) × R
    0.00102838999999999 × 6371000     		dr = 6551.87268999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01687379) × cos(0.83655492) × R
    0.00153398 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 6548.13766121352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01687379) × cos(0.83552653) × R
    0.00153398 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 6555.59503454744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83655492)-sin(0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.01687379--0.01840777)×0.000763059815223399×R²
    0.00153398×0.000763059815223399×6371000²
    0.00153398×0.000763059815223399×40589641000000     		ar = 42926997.9764563m²