Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2035 / 1491
↖ ↑ ↗
← N 43.897893°
W  1.142578°		 ← 7 042.19 m → N 43.897893°
W  1.054688°		 →
↑
7 045.94 m
↓
↑
7 045.94 m
↓
N 43.834527°
W  1.142578°		 ← 7 049.68 m →
49 645 235 m²		 N 43.834527°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4969482421875 y=0.3641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4969482421875 × 212)
    floor (0.4969482421875 × 4096)
    floor (2035.5)     		tx = 2035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3641357421875 × 212)
    floor (0.3641357421875 × 4096)
    floor (1491.5)     		ty = 1491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2035 / 1491 ti = "12/2035/1491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2035/1491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2035 ÷ 212
    2035 ÷ 4096     		x = 0.496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1491 ÷ 212
    1491 ÷ 4096     		y = 0.364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    0.27197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.854427298827881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01994175} λ = -0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.854427298827881))-π/2
    2×atan(2.35002813124714)-π/2
    2×1.16847954184546-π/2
    2.33695908369092-1.57079632675     		φ = 0.76616276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76616276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.897893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2035 KachelY 1491 -0.01994175 0.76616276 -1.142578 43.897893
    Oben rechts KachelX + 1 2036 KachelY 1491 -0.01840777 0.76616276 -1.054688 43.897893
    Unten links KachelX 2035 KachelY + 1 1492 -0.01994175 0.76505682 -1.142578 43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 2036 KachelY + 1 1492 -0.01840777 0.76505682 -1.054688 43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76616276-0.76505682) × R
    0.00110594000000008 × 6371000     		dl = 7045.94374000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76616276-0.76505682) × R
    0.00110594000000008 × 6371000     		dr = 7045.94374000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01994175--0.01840777) × cos(0.76616276) × R
    0.00153398 × 0.720576615639288 × 6371000     		do = 7042.18559450459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01994175--0.01840777) × cos(0.76505682) × R
    0.00153398 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 7049.67552034098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76616276)-sin(0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720576615639288-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.01840777--0.01994175)×0.000766390680584927×R²
    0.00153398×0.000766390680584927×6371000²
    0.00153398×0.000766390680584927×40589641000000     		ar = 49645235.3636527m²