Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2035 / 1437
↖ ↑ ↗
← N 47.219568°
W  1.142578°		 ← 6 637.72 m → N 47.219568°
W  1.054688°		 →
↑
6 641.45 m
↓
↑
6 641.45 m
↓
N 47.159840°
W  1.142578°		 ← 6 645.20 m →
44 108 910 m²		 N 47.159840°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4969482421875 y=0.3509521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4969482421875 × 212)
    floor (0.4969482421875 × 4096)
    floor (2035.5)     		tx = 2035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3509521484375 × 212)
    floor (0.3509521484375 × 4096)
    floor (1437.5)     		ty = 1437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2035 / 1437 ti = "12/2035/1437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2035/1437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2035 ÷ 212
    2035 ÷ 4096     		x = 0.496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1437 ÷ 212
    1437 ÷ 4096     		y = 0.350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350830078125 × 2 - 1) × π
    0.29833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937262261371338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01994175} λ = -0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937262261371338))-π/2
    2×atan(2.55298244336528)-π/2
    2×1.19746663085317-π/2
    2.39493326170633-1.57079632675     		φ = 0.82413693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82413693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.219568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2035 KachelY 1437 -0.01994175 0.82413693 -1.142578 47.219568
    Oben rechts KachelX + 1 2036 KachelY 1437 -0.01840777 0.82413693 -1.054688 47.219568
    Unten links KachelX 2035 KachelY + 1 1438 -0.01994175 0.82309448 -1.142578 47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 2036 KachelY + 1 1438 -0.01840777 0.82309448 -1.054688 47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82413693-0.82309448) × R
    0.00104245000000003 × 6371000     		dl = 6641.44895000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82413693-0.82309448) × R
    0.00104245000000003 × 6371000     		dr = 6641.44895000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01994175--0.01840777) × cos(0.82413693) × R
    0.00153398 × 0.679190678974484 × 6371000     		do = 6637.72139087872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01994175--0.01840777) × cos(0.82309448) × R
    0.00153398 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 6645.1952762121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82413693)-sin(0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679190678974484-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.01840777--0.01994175)×0.000764749370338658×R²
    0.00153398×0.000764749370338658×6371000²
    0.00153398×0.000764749370338658×40589641000000     		ar = 44108910.4702329m²