Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2032 / 1490
↖ ↑ ↗
← N 43.961191°
W  1.406250°		 ← 7 034.70 m → N 43.961191°
W  1.318359°		 →
↑
7 038.43 m
↓
↑
7 038.43 m
↓
N 43.897893°
W  1.406250°		 ← 7 042.19 m →
49 539 546 m²		 N 43.897893°
W  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4962158203125 y=0.3638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4962158203125 × 212)
    floor (0.4962158203125 × 4096)
    floor (2032.5)     		tx = 2032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3638916015625 × 212)
    floor (0.3638916015625 × 4096)
    floor (1490.5)     		ty = 1490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2032 / 1490 ti = "12/2032/1490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2032/1490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2032 ÷ 212
    2032 ÷ 4096     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1490 ÷ 212
    1490 ÷ 4096     		y = 0.36376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855961279615723))-π/2
    2×atan(2.35363579558782)-π/2
    2×1.16903192326168-π/2
    2.33806384652335-1.57079632675     		φ = 0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2032 KachelY 1490 -0.02454369 0.76726752 -1.406250 43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 2033 KachelY 1490 -0.02300971 0.76726752 -1.318359 43.961191
    Unten links KachelX 2032 KachelY + 1 1491 -0.02454369 0.76616276 -1.406250 43.897893
    Unten rechts KachelX + 1 2033 KachelY + 1 1491 -0.02300971 0.76616276 -1.318359 43.897893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76726752-0.76616276) × R
    0.00110475999999993 × 6371000     		dl = 7038.42595999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76726752-0.76616276) × R
    0.00110475999999993 × 6371000     		dr = 7038.42595999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(0.76726752) × R
    0.00153398 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 7034.69506061941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(0.76616276) × R
    0.00153398 × 0.720576615639288 × 6371000     		du = 7042.18559450459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76726752)-sin(0.76616276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.720576615639288)×R²
    abs(-0.02300971--0.02454369)×0.000766452897879022×R²
    0.00153398×0.000766452897879022×6371000²
    0.00153398×0.000766452897879022×40589641000000     		ar = 49539546.1579839m²