Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2030 / 1486
↖ ↑ ↗
← N 44.213710°
W  1.582031°		 ← 7 004.73 m → N 44.213710°
W  1.494140°		 →
↑
7 008.48 m
↓
↑
7 008.48 m
↓
N 44.150681°
W  1.582031°		 ← 7 012.22 m →
49 118 768 m²		 N 44.150681°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4957275390625 y=0.3629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4957275390625 × 212)
    floor (0.4957275390625 × 4096)
    floor (2030.5)     		tx = 2030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3629150390625 × 212)
    floor (0.3629150390625 × 4096)
    floor (1486.5)     		ty = 1486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2030 / 1486 ti = "12/2030/1486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2030/1486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2030 ÷ 212
    2030 ÷ 4096     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1486 ÷ 212
    1486 ÷ 4096     		y = 0.36279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36279296875 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.86209720276709))-π/2
    2×atan(2.36812192138352)-π/2
    2×1.17123556961159-π/2
    2.34247113922318-1.57079632675     		φ = 0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2030 KachelY 1486 -0.02761165 0.77167481 -1.582031 44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 2031 KachelY 1486 -0.02607767 0.77167481 -1.494140 44.213710
    Unten links KachelX 2030 KachelY + 1 1487 -0.02761165 0.77057475 -1.582031 44.150681
    Unten rechts KachelX + 1 2031 KachelY + 1 1487 -0.02607767 0.77057475 -1.494140 44.150681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77167481-0.77057475) × R
    0.00110006000000007 × 6371000     		dl = 7008.48226000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77167481-0.77057475) × R
    0.00110006000000007 × 6371000     		dr = 7008.48226000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(0.77167481) × R
    0.00153398 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 7004.72723604472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02607767) × cos(0.77057475) × R
    0.00153398 × 0.717510447328143 × 6371000     		du = 7012.21997274775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77167481)-sin(0.77057475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.717510447328143)×R²
    abs(-0.02607767--0.02761165)×0.000766678296515999×R²
    0.00153398×0.000766678296515999×6371000²
    0.00153398×0.000766678296515999×40589641000000     		ar = 49118767.8794454m²