Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2029 / 1419
↖ ↑ ↗
← N 48.283193°
W  1.669922°		 ← 6 503.43 m → N 48.283193°
W  1.582031°		 →
↑
6 507.15 m
↓
↑
6 507.15 m
↓
N 48.224673°
W  1.669922°		 ← 6 510.87 m →
42 343 002 m²		 N 48.224673°
W  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4954833984375 y=0.3465576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4954833984375 × 212)
    floor (0.4954833984375 × 4096)
    floor (2029.5)     		tx = 2029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3465576171875 × 212)
    floor (0.3465576171875 × 4096)
    floor (1419.5)     		ty = 1419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2029 / 1419 ti = "12/2029/1419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2029/1419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2029 ÷ 212
    2029 ÷ 4096     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1419 ÷ 212
    1419 ÷ 4096     		y = 0.346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96487391555249))-π/2
    2×atan(2.6244567324357)-π/2
    2×1.20674850808913-π/2
    2.41349701617827-1.57079632675     		φ = 0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2029 KachelY 1419 -0.02914563 0.84270069 -1.669922 48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 2030 KachelY 1419 -0.02761165 0.84270069 -1.582031 48.283193
    Unten links KachelX 2029 KachelY + 1 1420 -0.02914563 0.84167932 -1.669922 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 2030 KachelY + 1 1420 -0.02761165 0.84167932 -1.582031 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84270069-0.84167932) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dl = 6507.14827000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84270069-0.84167932) × R
    0.00102137000000002 × 6371000     		dr = 6507.14827000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02761165) × cos(0.84270069) × R
    0.00153398 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 6503.42750774274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02761165) × cos(0.84167932) × R
    0.00153398 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 6510.87498548309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84270069)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.02761165--0.02914563)×0.000762047269726174×R²
    0.00153398×0.000762047269726174×6371000²
    0.00153398×0.000762047269726174×40589641000000     		ar = 42343001.6580332m²