Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2028 / 1484
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
W  1.757813°		 ← 6 989.79 m → N 44.339565°
W  1.669922°		 →
↑
6 993.45 m
↓
↑
6 993.45 m
↓
N 44.276672°
W  1.757813°		 ← 6 997.28 m →
48 908 904 m²		 N 44.276672°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4952392578125 y=0.3624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4952392578125 × 212)
    floor (0.4952392578125 × 4096)
    floor (2028.5)     		tx = 2028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3624267578125 × 212)
    floor (0.3624267578125 × 4096)
    floor (1484.5)     		ty = 1484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2028 / 1484 ti = "12/2028/1484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2028/1484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2028 ÷ 212
    2028 ÷ 4096     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1484 ÷ 212
    1484 ÷ 4096     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2028 KachelY 1484 -0.03067962 0.77387140 -1.757813 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 2029 KachelY 1484 -0.02914563 0.77387140 -1.669922 44.339565
    Unten links KachelX 2028 KachelY + 1 1485 -0.03067962 0.77277370 -1.757813 44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 2029 KachelY + 1 1485 -0.02914563 0.77277370 -1.669922 44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.77277370) × R
    0.00109769999999998 × 6371000     		dl = 6993.44669999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.77277370) × R
    0.00109769999999998 × 6371000     		dr = 6993.44669999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.02914563) × cos(0.77387140) × R
    0.00153399 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 6989.78601929862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.02914563) × cos(0.77277370) × R
    0.00153399 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 6997.27962022307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.02914563--0.03067962)×0.000766761727617693×R²
    0.00153399×0.000766761727617693×6371000²
    0.00153399×0.000766761727617693×40589641000000     		ar = 48908903.9307445m²