Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2027 / 1452
↖ ↑ ↗
← N 46.316584°
W  1.845703°		 ← 6 749.94 m → N 46.316584°
W  1.757813°		 →
↑
6 753.64 m
↓
↑
6 753.64 m
↓
N 46.255847°
W  1.845703°		 ← 6 757.43 m →
45 611 965 m²		 N 46.255847°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4949951171875 y=0.3546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4949951171875 × 212)
    floor (0.4949951171875 × 4096)
    floor (2027.5)     		tx = 2027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3546142578125 × 212)
    floor (0.3546142578125 × 4096)
    floor (1452.5)     		ty = 1452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2027 / 1452 ti = "12/2027/1452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2027/1452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2027 ÷ 212
    2027 ÷ 4096     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1452 ÷ 212
    1452 ÷ 4096     		y = 0.3544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3544921875 × 2 - 1) × π
    0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914252549553711))-π/2
    2×atan(2.49490973340674)-π/2
    2×1.18958660951338-π/2
    2.37917321902677-1.57079632675     		φ = 0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2027 KachelY 1452 -0.03221360 0.80837689 -1.845703 46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 2028 KachelY 1452 -0.03067962 0.80837689 -1.757813 46.316584
    Unten links KachelX 2027 KachelY + 1 1453 -0.03221360 0.80731683 -1.845703 46.255847
    Unten rechts KachelX + 1 2028 KachelY + 1 1453 -0.03067962 0.80731683 -1.757813 46.255847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80837689-0.80731683) × R
    0.00106006000000003 × 6371000     		dl = 6753.64226000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80837689-0.80731683) × R
    0.00106006000000003 × 6371000     		dr = 6753.64226000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03067962) × cos(0.80837689) × R
    0.00153398 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 6749.93915202654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03067962) × cos(0.80731683) × R
    0.00153398 × 0.691439334251083 × 6371000     		du = 6757.42733451997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80837689)-sin(0.80731683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.691439334251083)×R²
    abs(-0.03067962--0.03221360)×0.000766212296736568×R²
    0.00153398×0.000766212296736568×6371000²
    0.00153398×0.000766212296736568×40589641000000     		ar = 45611964.8337042m²