Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2026 / 1498
↖ ↑ ↗
← N 43.452919°
W  1.933594°		 ← 7 094.60 m → N 43.452919°
W  1.845703°		 →
↑
7 098.31 m
↓
↑
7 098.31 m
↓
N 43.389082°
W  1.933594°		 ← 7 102.08 m →
50 386 259 m²		 N 43.389082°
W  1.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4947509765625 y=0.3658447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4947509765625 × 212)
    floor (0.4947509765625 × 4096)
    floor (2026.5)     		tx = 2026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3658447265625 × 212)
    floor (0.3658447265625 × 4096)
    floor (1498.5)     		ty = 1498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2026 / 1498 ti = "12/2026/1498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2026/1498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2026 ÷ 212
    2026 ÷ 4096     		x = 0.49462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1498 ÷ 212
    1498 ÷ 4096     		y = 0.36572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36572265625 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03374758} λ = -0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843689433312988))-π/2
    2×atan(2.32492884277519)-π/2
    2×1.16459641553599-π/2
    2.32919283107197-1.57079632675     		φ = 0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2026 KachelY 1498 -0.03374758 0.75839650 -1.933594 43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 2027 KachelY 1498 -0.03221360 0.75839650 -1.845703 43.452919
    Unten links KachelX 2026 KachelY + 1 1499 -0.03374758 0.75728234 -1.933594 43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 2027 KachelY + 1 1499 -0.03221360 0.75728234 -1.845703 43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75839650-0.75728234) × R
    0.00111415999999998 × 6371000     		dl = 7098.31335999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75839650-0.75728234) × R
    0.00111415999999998 × 6371000     		dr = 7098.31335999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03374758--0.03221360) × cos(0.75839650) × R
    0.00153398 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 7094.59957098468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03374758--0.03221360) × cos(0.75728234) × R
    0.00153398 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 7102.08393949627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75839650)-sin(0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.72670558599051)×R²
    abs(-0.03221360--0.03374758)×0.000765822039181852×R²
    0.00153398×0.000765822039181852×6371000²
    0.00153398×0.000765822039181852×40589641000000     		ar = 50386259.3273293m²