Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2025 / 1435
↖ ↑ ↗
← N 47.338823°
W  2.021484°		 ← 6 622.78 m → N 47.338823°
W  1.933594°		 →
↑
6 626.54 m
↓
↑
6 626.54 m
↓
N 47.279229°
W  2.021484°		 ← 6 630.25 m →
43 910 862 m²		 N 47.279229°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4945068359375 y=0.3504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4945068359375 × 212)
    floor (0.4945068359375 × 4096)
    floor (2025.5)     		tx = 2025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3504638671875 × 212)
    floor (0.3504638671875 × 4096)
    floor (1435.5)     		ty = 1435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2025 / 1435 ti = "12/2025/1435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2025/1435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2025 ÷ 212
    2025 ÷ 4096     		x = 0.494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1435 ÷ 212
    1435 ÷ 4096     		y = 0.350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350341796875 × 2 - 1) × π
    0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03528156} λ = -0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940330222947022))-π/2
    2×atan(2.56082692253231)-π/2
    2×1.19850732340957-π/2
    2.39701464681914-1.57079632675     		φ = 0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2025 KachelY 1435 -0.03528156 0.82621832 -2.021484 47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 2026 KachelY 1435 -0.03374758 0.82621832 -1.933594 47.338823
    Unten links KachelX 2025 KachelY + 1 1436 -0.03528156 0.82517821 -2.021484 47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 2026 KachelY + 1 1436 -0.03374758 0.82517821 -1.933594 47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82621832-0.82517821) × R
    0.00104010999999993 × 6371000     		dl = 6626.54080999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82621832-0.82517821) × R
    0.00104010999999993 × 6371000     		dr = 6626.54080999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03528156--0.03374758) × cos(0.82621832) × R
    0.00153398 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 6622.77721437567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03528156--0.03374758) × cos(0.82517821) × R
    0.00153398 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 6630.24869281694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82621832)-sin(0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.03374758--0.03528156)×0.000764503090237789×R²
    0.00153398×0.000764503090237789×6371000²
    0.00153398×0.000764503090237789×40589641000000     		ar = 43910862.4736646m²