Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2023 / 1522
↖ ↑ ↗
← N 41.902277°
W  2.197266°		 ← 7 273.89 m → N 41.902277°
W  2.109375°		 →
↑
7 277.66 m
↓
↑
7 277.66 m
↓
N 41.836828°
W  2.197266°		 ← 7 281.34 m →
52 963 976 m²		 N 41.836828°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4940185546875 y=0.3717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4940185546875 × 212)
    floor (0.4940185546875 × 4096)
    floor (2023.5)     		tx = 2023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3717041015625 × 212)
    floor (0.3717041015625 × 4096)
    floor (1522.5)     		ty = 1522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2023 / 1522 ti = "12/2023/1522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2023/1522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2023 ÷ 212
    2023 ÷ 4096     		x = 0.493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1522 ÷ 212
    1522 ÷ 4096     		y = 0.37158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37158203125 × 2 - 1) × π
    0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03834952} λ = -0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806873894404785))-π/2
    2×atan(2.24089176138622)-π/2
    2×1.15106451261269-π/2
    2.30212902522537-1.57079632675     		φ = 0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2023 KachelY 1522 -0.03834952 0.73133270 -2.197266 41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 2024 KachelY 1522 -0.03681554 0.73133270 -2.109375 41.902277
    Unten links KachelX 2023 KachelY + 1 1523 -0.03834952 0.73019039 -2.197266 41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 2024 KachelY + 1 1523 -0.03681554 0.73019039 -2.109375 41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73133270-0.73019039) × R
    0.00114230999999998 × 6371000     		dl = 7277.65700999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73133270-0.73019039) × R
    0.00114230999999998 × 6371000     		dr = 7277.65700999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03834952--0.03681554) × cos(0.73133270) × R
    0.00153398 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 7273.88735282935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03834952--0.03681554) × cos(0.73019039) × R
    0.00153398 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 7281.33847162379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73133270)-sin(0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.745047423530157)×R²
    abs(-0.03681554--0.03834952)×0.00076241983281633×R²
    0.00153398×0.00076241983281633×6371000²
    0.00153398×0.00076241983281633×40589641000000     		ar = 52963976.3860001m²