Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2023 / 1433
↖ ↑ ↗
← N 47.457808°
W  2.197266°		 ← 6 607.84 m → N 47.457808°
W  2.109375°		 →
↑
6 611.57 m
↓
↑
6 611.57 m
↓
N 47.398349°
W  2.197266°		 ← 6 615.31 m →
43 712 872 m²		 N 47.398349°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4940185546875 y=0.3499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4940185546875 × 212)
    floor (0.4940185546875 × 4096)
    floor (2023.5)     		tx = 2023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3499755859375 × 212)
    floor (0.3499755859375 × 4096)
    floor (1433.5)     		ty = 1433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2023 / 1433 ti = "12/2023/1433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2023/1433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2023 ÷ 212
    2023 ÷ 4096     		x = 0.493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1433 ÷ 212
    1433 ÷ 4096     		y = 0.349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349853515625 × 2 - 1) × π
    0.30029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.943398184522705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03834952} λ = -0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943398184522705))-π/2
    2×atan(2.56869550521544)-π/2
    2×1.19954567070966-π/2
    2.39909134141931-1.57079632675     		φ = 0.82829501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82829501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.457808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2023 KachelY 1433 -0.03834952 0.82829501 -2.197266 47.457808
    Oben rechts KachelX + 1 2024 KachelY 1433 -0.03681554 0.82829501 -2.109375 47.457808
    Unten links KachelX 2023 KachelY + 1 1434 -0.03834952 0.82725725 -2.197266 47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 2024 KachelY + 1 1434 -0.03681554 0.82725725 -2.109375 47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82829501-0.82725725) × R
    0.00103776 × 6371000     		dl = 6611.56895999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82829501-0.82725725) × R
    0.00103776 × 6371000     		dr = 6611.56895999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03834952--0.03681554) × cos(0.82829501) × R
    0.00153398 × 0.676132944141508 × 6371000     		do = 6607.83818939083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03834952--0.03681554) × cos(0.82725725) × R
    0.00153398 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 6615.30705976653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82829501)-sin(0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676132944141508-0.676897180367001)×R²
    abs(-0.03681554--0.03834952)×0.000764236225493375×R²
    0.00153398×0.000764236225493375×6371000²
    0.00153398×0.000764236225493375×40589641000000     		ar = 43712872.264486m²