Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2007 / 1416
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
W  3.603515°		 ← 6 481.10 m → N 48.458352°
W  3.515625°		 →
↑
6 484.79 m
↓
↑
6 484.79 m
↓
N 48.400033°
W  3.603515°		 ← 6 488.54 m →
42 052 653 m²		 N 48.400033°
W  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4901123046875 y=0.3458251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4901123046875 × 212)
    floor (0.4901123046875 × 4096)
    floor (2007.5)     		tx = 2007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3458251953125 × 212)
    floor (0.3458251953125 × 4096)
    floor (1416.5)     		ty = 1416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2007 / 1416 ti = "12/2007/1416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2007/1416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2007 ÷ 212
    2007 ÷ 4096     		x = 0.489990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1416 ÷ 212
    1416 ÷ 4096     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489990234375 × 2 - 1) × π
    -0.02001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06289321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06289321} λ = -0.06289321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06289321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.603515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2007 KachelY 1416 -0.06289321 0.84575779 -3.603515 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 2008 KachelY 1416 -0.06135923 0.84575779 -3.515625 48.458352
    Unten links KachelX 2007 KachelY + 1 1417 -0.06289321 0.84473993 -3.603515 48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 2008 KachelY + 1 1417 -0.06135923 0.84473993 -3.515625 48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.84473993) × R
    0.00101785999999993 × 6371000     		dl = 6484.78605999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.84473993) × R
    0.00101785999999993 × 6371000     		dr = 6484.78605999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06289321--0.06135923) × cos(0.84575779) × R
    0.00153398 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 6481.0956765964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06289321--0.06135923) × cos(0.84473993) × R
    0.00153398 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 6488.53778580338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.06135923--0.06289321)×0.000761497946002332×R²
    0.00153398×0.000761497946002332×6371000²
    0.00153398×0.000761497946002332×40589641000000     		ar = 42052652.7708184m²