Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2004 / 1436
↖ ↑ ↗
← N 47.279229°
W  3.867187°		 ← 6 630.25 m → N 47.279229°
W  3.779297°		 →
↑
6 633.99 m
↓
↑
6 633.99 m
↓
N 47.219568°
W  3.867187°		 ← 6 637.72 m →
44 009 827 m²		 N 47.219568°
W  3.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4893798828125 y=0.3507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4893798828125 × 212)
    floor (0.4893798828125 × 4096)
    floor (2004.5)     		tx = 2004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3507080078125 × 212)
    floor (0.3507080078125 × 4096)
    floor (1436.5)     		ty = 1436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2004 / 1436 ti = "12/2004/1436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2004/1436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2004 ÷ 212
    2004 ÷ 4096     		x = 0.4892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1436 ÷ 212
    1436 ÷ 4096     		y = 0.3505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4892578125 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06749515} λ = -0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93879624215918))-π/2
    2×atan(2.5569016746293)-π/2
    2×1.19798727033797-π/2
    2.39597454067595-1.57079632675     		φ = 0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2004 KachelY 1436 -0.06749515 0.82517821 -3.867187 47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 2005 KachelY 1436 -0.06596117 0.82517821 -3.779297 47.279229
    Unten links KachelX 2004 KachelY + 1 1437 -0.06749515 0.82413693 -3.867187 47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 2005 KachelY + 1 1437 -0.06596117 0.82413693 -3.779297 47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82517821-0.82413693) × R
    0.00104128000000003 × 6371000     		dl = 6633.99488000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82517821-0.82413693) × R
    0.00104128000000003 × 6371000     		dr = 6633.99488000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06749515--0.06596117) × cos(0.82517821) × R
    0.00153398 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 6630.24869281697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06749515--0.06596117) × cos(0.82413693) × R
    0.00153398 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 6637.72139087874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82517821)-sin(0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.06596117--0.06749515)×0.000764627885303959×R²
    0.00153398×0.000764627885303959×6371000²
    0.00153398×0.000764627885303959×40589641000000     		ar = 44009826.7781344m²