Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19920 / 9648
↖ ↑ ↗
← N 59.265881°
E 38.847656°		 ← 624.32 m → N 59.265881°
E 38.858643°		 →
↑
624.36 m
↓
↑
624.36 m
↓
N 59.260266°
E 38.847656°		 ← 624.43 m →
389 834 m²		 N 59.260266°
E 38.858643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607925415039062 y=0.294448852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607925415039062 × 215)
    floor (0.607925415039062 × 32768)
    floor (19920.5)     		tx = 19920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294448852539062 × 215)
    floor (0.294448852539062 × 32768)
    floor (9648.5)     		ty = 9648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19920 / 9648 ti = "15/19920/9648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19920/9648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19920 ÷ 215
    19920 ÷ 32768     		x = 0.60791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9648 ÷ 215
    9648 ÷ 32768     		y = 0.29443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60791015625 × 2 - 1) × π
    0.2158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67801951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29443359375 × 2 - 1) × π
    0.4111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29161182336279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67801951} λ = 0.67801951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29161182336279))-π/2
    2×atan(3.63864668747531)-π/2
    2×1.30259053891653-π/2
    2.60518107783306-1.57079632675     		φ = 1.03438475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67801951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03438475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.265881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19920 KachelY 9648 0.67801951 1.03438475 38.847656 59.265881
    Oben rechts KachelX + 1 19921 KachelY 9648 0.67821126 1.03438475 38.858643 59.265881
    Unten links KachelX 19920 KachelY + 1 9649 0.67801951 1.03428675 38.847656 59.260266
    Unten rechts KachelX + 1 19921 KachelY + 1 9649 0.67821126 1.03428675 38.858643 59.260266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03438475-1.03428675) × R
    9.80000000001535e-05 × 6371000     		dl = 624.358000000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03438475-1.03428675) × R
    9.80000000001535e-05 × 6371000     		dr = 624.358000000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67801951-0.67821126) × cos(1.03438475) × R
    0.000191749999999935 × 0.511054866318333 × 6371000     		do = 624.324683597767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67801951-0.67821126) × cos(1.03428675) × R
    0.000191749999999935 × 0.511139099577194 × 6371000     		du = 624.427586252947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03438475)-sin(1.03428675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511054866318333-0.511139099577194)×R²
    abs(0.67821126-0.67801951)×8.42332588614214e-05×R²
    0.000191749999999935×8.42332588614214e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.42332588614214e-05×40589641000000     		ar = 389834.235162587m²