Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19919 / 9649
↖ ↑ ↗
← N 59.260266°
E 38.836670°		 ← 624.43 m → N 59.260266°
E 38.847656°		 →
↑
624.49 m
↓
↑
624.49 m
↓
N 59.254649°
E 38.836670°		 ← 624.53 m →
389 978 m²		 N 59.254649°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607894897460938 y=0.294479370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607894897460938 × 215)
    floor (0.607894897460938 × 32768)
    floor (19919.5)     		tx = 19919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294479370117188 × 215)
    floor (0.294479370117188 × 32768)
    floor (9649.5)     		ty = 9649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19919 / 9649 ti = "15/19919/9649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19919/9649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19919 ÷ 215
    19919 ÷ 32768     		x = 0.607879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9649 ÷ 215
    9649 ÷ 32768     		y = 0.294464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607879638671875 × 2 - 1) × π
    0.21575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67782776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294464111328125 × 2 - 1) × π
    0.41107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29142007576431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67782776} λ = 0.67782776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29142007576431))-π/2
    2×atan(3.63794905259832)-π/2
    2×1.30254153810708-π/2
    2.60508307621417-1.57079632675     		φ = 1.03428675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67782776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.836670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03428675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.260266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19919 KachelY 9649 0.67782776 1.03428675 38.836670 59.260266
    Oben rechts KachelX + 1 19920 KachelY 9649 0.67801951 1.03428675 38.847656 59.260266
    Unten links KachelX 19919 KachelY + 1 9650 0.67782776 1.03418873 38.836670 59.254649
    Unten rechts KachelX + 1 19920 KachelY + 1 9650 0.67801951 1.03418873 38.847656 59.254649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03428675-1.03418873) × R
    9.8020000000032e-05 × 6371000     		dl = 624.485420000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03428675-1.03418873) × R
    9.8020000000032e-05 × 6371000     		dr = 624.485420000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67782776-0.67801951) × cos(1.03428675) × R
    0.000191750000000046 × 0.511139099577194 × 6371000     		do = 624.427586253309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67782776-0.67801951) × cos(1.03418873) × R
    0.000191750000000046 × 0.511223345116034 × 6371000     		du = 624.530503910192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03428675)-sin(1.03418873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511139099577194-0.511223345116034)×R²
    abs(0.67801951-0.67782776)×8.42455388395669e-05×R²
    0.000191750000000046×8.42455388395669e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.42455388395669e-05×40589641000000     		ar = 389978.059061546m²