Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19905 / 9535
↖ ↑ ↗
← N 59.894448°
E 38.682861°		 ← 612.77 m → N 59.894448°
E 38.693848°		 →
↑
612.83 m
↓
↑
612.83 m
↓
N 59.888937°
E 38.682861°		 ← 612.87 m →
375 551 m²		 N 59.888937°
E 38.693848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607467651367188 y=0.291000366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607467651367188 × 215)
    floor (0.607467651367188 × 32768)
    floor (19905.5)     		tx = 19905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291000366210938 × 215)
    floor (0.291000366210938 × 32768)
    floor (9535.5)     		ty = 9535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19905 / 9535 ti = "15/19905/9535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19905/9535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19905 ÷ 215
    19905 ÷ 32768     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9535 ÷ 215
    9535 ÷ 32768     		y = 0.290985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290985107421875 × 2 - 1) × π
    0.41802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31327930199106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31327930199106))-π/2
    2×atan(3.71834732461015)-π/2
    2×1.30807582433754-π/2
    2.61615164867507-1.57079632675     		φ = 1.04535532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04535532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.894448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19905 KachelY 9535 0.67514329 1.04535532 38.682861 59.894448
    Oben rechts KachelX + 1 19906 KachelY 9535 0.67533504 1.04535532 38.693848 59.894448
    Unten links KachelX 19905 KachelY + 1 9536 0.67514329 1.04525913 38.682861 59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 19906 KachelY + 1 9536 0.67533504 1.04525913 38.693848 59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04535532-1.04525913) × R
    9.61900000000515e-05 × 6371000     		dl = 612.826490000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04535532-1.04525913) × R
    9.61900000000515e-05 × 6371000     		dr = 612.826490000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67533504) × cos(1.04535532) × R
    0.000191750000000046 × 0.501594569659766 × 6371000     		do = 612.767613883377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67533504) × cos(1.04525913) × R
    0.000191750000000046 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 612.869268830353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04535532)-sin(1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501594569659766-0.501677781579305)×R²
    abs(0.67533504-0.67514329)×8.32119195390835e-05×R²
    0.000191750000000046×8.32119195390835e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.32119195390835e-05×40589641000000     		ar = 375551.374713521m²