Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19890 / 9618
↖ ↑ ↗
← N 59.433903°
E 38.518066°		 ← 621.24 m → N 59.433903°
E 38.529053°		 →
↑
621.30 m
↓
↑
621.30 m
↓
N 59.428316°
E 38.518066°		 ← 621.35 m →
386 010 m²		 N 59.428316°
E 38.529053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607009887695312 y=0.293533325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607009887695312 × 215)
    floor (0.607009887695312 × 32768)
    floor (19890.5)     		tx = 19890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293533325195312 × 215)
    floor (0.293533325195312 × 32768)
    floor (9618.5)     		ty = 9618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19890 / 9618 ti = "15/19890/9618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19890/9618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19890 ÷ 215
    19890 ÷ 32768     		x = 0.60699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9618 ÷ 215
    9618 ÷ 32768     		y = 0.29351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60699462890625 × 2 - 1) × π
    0.2139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67226708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29351806640625 × 2 - 1) × π
    0.4129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2973642513172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67226708} λ = 0.67226708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2973642513172))-π/2
    2×atan(3.65963805818598)-π/2
    2×1.30405681198174-π/2
    2.60811362396348-1.57079632675     		φ = 1.03731730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67226708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.518066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03731730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.433903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19890 KachelY 9618 0.67226708 1.03731730 38.518066 59.433903
    Oben rechts KachelX + 1 19891 KachelY 9618 0.67245883 1.03731730 38.529053 59.433903
    Unten links KachelX 19890 KachelY + 1 9619 0.67226708 1.03721978 38.518066 59.428316
    Unten rechts KachelX + 1 19891 KachelY + 1 9619 0.67245883 1.03721978 38.529053 59.428316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03731730-1.03721978) × R
    9.75199999999621e-05 × 6371000     		dl = 621.299919999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03731730-1.03721978) × R
    9.75199999999621e-05 × 6371000     		dr = 621.299919999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67226708-0.67245883) × cos(1.03731730) × R
    0.000191749999999935 × 0.508532004676172 × 6371000     		do = 621.242656793385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67226708-0.67245883) × cos(1.03721978) × R
    0.000191749999999935 × 0.50861597117992 × 6371000     		du = 621.345233570048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03731730)-sin(1.03721978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508532004676172-0.50861597117992)×R²
    abs(0.67245883-0.67226708)×8.39665037476456e-05×R²
    0.000191749999999935×8.39665037476456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.39665037476456e-05×40589641000000     		ar = 386009.87874386m²