Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19889 / 9615
↖ ↑ ↗
← N 59.450659°
E 38.507080°		 ← 620.94 m → N 59.450659°
E 38.518066°		 →
↑
620.98 m
↓
↑
620.98 m
↓
N 59.445075°
E 38.507080°		 ← 621.04 m →
385 621 m²		 N 59.445075°
E 38.518066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606979370117188 y=0.293441772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606979370117188 × 215)
    floor (0.606979370117188 × 32768)
    floor (19889.5)     		tx = 19889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293441772460938 × 215)
    floor (0.293441772460938 × 32768)
    floor (9615.5)     		ty = 9615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19889 / 9615 ti = "15/19889/9615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19889/9615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19889 ÷ 215
    19889 ÷ 32768     		x = 0.606964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9615 ÷ 215
    9615 ÷ 32768     		y = 0.293426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606964111328125 × 2 - 1) × π
    0.21392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67207533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293426513671875 × 2 - 1) × π
    0.41314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29793949411264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67207533} λ = 0.67207533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29793949411264))-π/2
    2×atan(3.66174384422392)-π/2
    2×1.30420304044921-π/2
    2.60840608089842-1.57079632675     		φ = 1.03760975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67207533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.507080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03760975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.450659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19889 KachelY 9615 0.67207533 1.03760975 38.507080 59.450659
    Oben rechts KachelX + 1 19890 KachelY 9615 0.67226708 1.03760975 38.518066 59.450659
    Unten links KachelX 19889 KachelY + 1 9616 0.67207533 1.03751228 38.507080 59.445075
    Unten rechts KachelX + 1 19890 KachelY + 1 9616 0.67226708 1.03751228 38.518066 59.445075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03760975-1.03751228) × R
    9.74700000000439e-05 × 6371000     		dl = 620.98137000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03760975-1.03751228) × R
    9.74700000000439e-05 × 6371000     		dr = 620.98137000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67207533-0.67226708) × cos(1.03760975) × R
    0.000191750000000046 × 0.508280170881926 × 6371000     		do = 620.935006746217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67207533-0.67226708) × cos(1.03751228) × R
    0.000191750000000046 × 0.508364108829362 × 6371000     		du = 621.03754863737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03760975)-sin(1.03751228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508280170881926-0.508364108829362)×R²
    abs(0.67226708-0.67207533)×8.39379474358859e-05×R²
    0.000191750000000046×8.39379474358859e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.39379474358859e-05×40589641000000     		ar = 385620.909777758m²