Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19862 / 9626
↖ ↑ ↗
← N 59.389178°
E 38.210449°		 ← 622.06 m → N 59.389178°
E 38.221436°		 →
↑
622.06 m
↓
↑
622.06 m
↓
N 59.383584°
E 38.210449°		 ← 622.17 m →
386 996 m²		 N 59.383584°
E 38.221436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606155395507812 y=0.293777465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606155395507812 × 215)
    floor (0.606155395507812 × 32768)
    floor (19862.5)     		tx = 19862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293777465820312 × 215)
    floor (0.293777465820312 × 32768)
    floor (9626.5)     		ty = 9626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19862 / 9626 ti = "15/19862/9626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19862/9626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19862 ÷ 215
    19862 ÷ 32768     		x = 0.60614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9626 ÷ 215
    9626 ÷ 32768     		y = 0.29376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60614013671875 × 2 - 1) × π
    0.2122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66689815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29376220703125 × 2 - 1) × π
    0.4124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29583027052936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66689815} λ = 0.66689815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29583027052936))-π/2
    2×atan(3.65402854725524)-π/2
    2×1.303666515157-π/2
    2.607333030314-1.57079632675     		φ = 1.03653670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66689815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.210449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03653670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.389178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19862 KachelY 9626 0.66689815 1.03653670 38.210449 59.389178
    Oben rechts KachelX + 1 19863 KachelY 9626 0.66708990 1.03653670 38.221436 59.389178
    Unten links KachelX 19862 KachelY + 1 9627 0.66689815 1.03643906 38.210449 59.383584
    Unten rechts KachelX + 1 19863 KachelY + 1 9627 0.66708990 1.03643906 38.221436 59.383584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03653670-1.03643906) × R
    9.7640000000121e-05 × 6371000     		dl = 622.064440000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03653670-1.03643906) × R
    9.7640000000121e-05 × 6371000     		dr = 622.064440000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66689815-0.66708990) × cos(1.03653670) × R
    0.000191750000000046 × 0.509203979909268 × 6371000     		do = 622.063568113523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66689815-0.66708990) × cos(1.03643906) × R
    0.000191750000000046 × 0.509288010944236 × 6371000     		du = 622.166223724057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03653670)-sin(1.03643906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509203979909268-0.509288010944236)×R²
    abs(0.66708990-0.66689815)×8.40310349673468e-05×R²
    0.000191750000000046×8.40310349673468e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.40310349673468e-05×40589641000000     		ar = 386995.554653329m²