Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19861 / 9621
↖ ↑ ↗
← N 59.417139°
E 38.199463°		 ← 621.55 m → N 59.417139°
E 38.210449°		 →
↑
621.62 m
↓
↑
621.62 m
↓
N 59.411548°
E 38.199463°		 ← 621.65 m →
386 399 m²		 N 59.411548°
E 38.210449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606124877929688 y=0.293624877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606124877929688 × 215)
    floor (0.606124877929688 × 32768)
    floor (19861.5)     		tx = 19861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293624877929688 × 215)
    floor (0.293624877929688 × 32768)
    floor (9621.5)     		ty = 9621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19861 / 9621 ti = "15/19861/9621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19861/9621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19861 ÷ 215
    19861 ÷ 32768     		x = 0.606109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9621 ÷ 215
    9621 ÷ 32768     		y = 0.293609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606109619140625 × 2 - 1) × π
    0.21221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66670640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293609619140625 × 2 - 1) × π
    0.41278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29678900852176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66670640} λ = 0.66670640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29678900852176))-π/2
    2×atan(3.65753348313794)-π/2
    2×1.30391051106808-π/2
    2.60782102213616-1.57079632675     		φ = 1.03702470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66670640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.199463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03702470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.417139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19861 KachelY 9621 0.66670640 1.03702470 38.199463 59.417139
    Oben rechts KachelX + 1 19862 KachelY 9621 0.66689815 1.03702470 38.210449 59.417139
    Unten links KachelX 19861 KachelY + 1 9622 0.66670640 1.03692713 38.199463 59.411548
    Unten rechts KachelX + 1 19862 KachelY + 1 9622 0.66689815 1.03692713 38.210449 59.411548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03702470-1.03692713) × R
    9.75699999998803e-05 × 6371000     		dl = 621.618469999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03702470-1.03692713) × R
    9.75699999998803e-05 × 6371000     		dr = 621.618469999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66670640-0.66689815) × cos(1.03702470) × R
    0.000191749999999935 × 0.508783924111344 × 6371000     		do = 621.550411463228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66670640-0.66689815) × cos(1.03692713) × R
    0.000191749999999935 × 0.508867919141899 × 6371000     		du = 621.65302308936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03702470)-sin(1.03692713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508783924111344-0.508867919141899)×R²
    abs(0.66689815-0.66670640)×8.39950305552284e-05×R²
    0.000191749999999935×8.39950305552284e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.39950305552284e-05×40589641000000     		ar = 386399.108748556m²