Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19857 / 9619
↖ ↑ ↗
← N 59.428316°
E 38.155518°		 ← 621.35 m → N 59.428316°
E 38.166504°		 →
↑
621.36 m
↓
↑
621.36 m
↓
N 59.422728°
E 38.155518°		 ← 621.45 m →
386 113 m²		 N 59.422728°
E 38.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606002807617188 y=0.293563842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606002807617188 × 215)
    floor (0.606002807617188 × 32768)
    floor (19857.5)     		tx = 19857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293563842773438 × 215)
    floor (0.293563842773438 × 32768)
    floor (9619.5)     		ty = 9619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19857 / 9619 ti = "15/19857/9619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19857/9619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19857 ÷ 215
    19857 ÷ 32768     		x = 0.605987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9619 ÷ 215
    9619 ÷ 32768     		y = 0.293548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605987548828125 × 2 - 1) × π
    0.21197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66593941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293548583984375 × 2 - 1) × π
    0.41290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29717250371872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66593941} λ = 0.66593941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29717250371872))-π/2
    2×atan(3.65893639864993)-π/2
    2×1.30400805306125-π/2
    2.6080161061225-1.57079632675     		φ = 1.03721978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66593941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.155518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03721978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.428316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19857 KachelY 9619 0.66593941 1.03721978 38.155518 59.428316
    Oben rechts KachelX + 1 19858 KachelY 9619 0.66613116 1.03721978 38.166504 59.428316
    Unten links KachelX 19857 KachelY + 1 9620 0.66593941 1.03712225 38.155518 59.422728
    Unten rechts KachelX + 1 19858 KachelY + 1 9620 0.66613116 1.03712225 38.166504 59.422728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03721978-1.03712225) × R
    9.75300000001234e-05 × 6371000     		dl = 621.363630000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03721978-1.03712225) × R
    9.75300000001234e-05 × 6371000     		dr = 621.363630000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66593941-0.66613116) × cos(1.03721978) × R
    0.000191750000000046 × 0.50861597117992 × 6371000     		do = 621.345233570408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66593941-0.66613116) × cos(1.03712225) × R
    0.000191750000000046 × 0.508699941456092 × 6371000     		du = 621.447814955613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03721978)-sin(1.03712225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50861597117992-0.508699941456092)×R²
    abs(0.66613116-0.66593941)×8.39702761721295e-05×R²
    0.000191750000000046×8.39702761721295e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.39702761721295e-05×40589641000000     		ar = 386113.20029233m²