Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19856 / 9552
↖ ↑ ↗
← N 59.800634°
E 38.144531°		 ← 614.50 m → N 59.800634°
E 38.155518°		 →
↑
614.55 m
↓
↑
614.55 m
↓
N 59.795107°
E 38.144531°		 ← 614.60 m →
377 669 m²		 N 59.795107°
E 38.155518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605972290039062 y=0.291519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605972290039062 × 215)
    floor (0.605972290039062 × 32768)
    floor (19856.5)     		tx = 19856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291519165039062 × 215)
    floor (0.291519165039062 × 32768)
    floor (9552.5)     		ty = 9552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19856 / 9552 ti = "15/19856/9552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19856/9552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19856 ÷ 215
    19856 ÷ 32768     		x = 0.60595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9552 ÷ 215
    9552 ÷ 32768     		y = 0.29150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60595703125 × 2 - 1) × π
    0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29150390625 × 2 - 1) × π
    0.4169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31001959281689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66574766} λ = 0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31001959281689))-π/2
    2×atan(3.70624632730449)-π/2
    2×1.30725714470597-π/2
    2.61451428941194-1.57079632675     		φ = 1.04371796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04371796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.800634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19856 KachelY 9552 0.66574766 1.04371796 38.144531 59.800634
    Oben rechts KachelX + 1 19857 KachelY 9552 0.66593941 1.04371796 38.155518 59.800634
    Unten links KachelX 19856 KachelY + 1 9553 0.66574766 1.04362150 38.144531 59.795107
    Unten rechts KachelX + 1 19857 KachelY + 1 9553 0.66593941 1.04362150 38.155518 59.795107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04371796-1.04362150) × R
    9.64599999999649e-05 × 6371000     		dl = 614.546659999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04371796-1.04362150) × R
    9.64599999999649e-05 × 6371000     		dr = 614.546659999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66574766-0.66593941) × cos(1.04371796) × R
    0.000191750000000046 × 0.503010381404526 × 6371000     		do = 614.497225081386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66574766-0.66593941) × cos(1.04362150) × R
    0.000191750000000046 × 0.50309374754865 × 6371000     		du = 614.599068435169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04371796)-sin(1.04362150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503010381404526-0.50309374754865)×R²
    abs(0.66593941-0.66574766)×8.33661441241862e-05×R²
    0.000191750000000046×8.33661441241862e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.33661441241862e-05×40589641000000     		ar = 377668.511292537m²