Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19855 / 9587
↖ ↑ ↗
← N 59.606654°
E 38.133545°		 ← 618.07 m → N 59.606654°
E 38.144531°		 →
↑
618.11 m
↓
↑
618.11 m
↓
N 59.601095°
E 38.133545°		 ← 618.17 m →
382 069 m²		 N 59.601095°
E 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605941772460938 y=0.292587280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605941772460938 × 215)
    floor (0.605941772460938 × 32768)
    floor (19855.5)     		tx = 19855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292587280273438 × 215)
    floor (0.292587280273438 × 32768)
    floor (9587.5)     		ty = 9587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19855 / 9587 ti = "15/19855/9587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19855/9587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19855 ÷ 215
    19855 ÷ 32768     		x = 0.605926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9587 ÷ 215
    9587 ÷ 32768     		y = 0.292572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605926513671875 × 2 - 1) × π
    0.21185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66555591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292572021484375 × 2 - 1) × π
    0.41485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30330842687009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66555591} λ = 0.66555591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30330842687009))-π/2
    2×atan(3.68145637096199)-π/2
    2×1.30556435022566-π/2
    2.61112870045131-1.57079632675     		φ = 1.04033237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66555591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04033237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.606654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19855 KachelY 9587 0.66555591 1.04033237 38.133545 59.606654
    Oben rechts KachelX + 1 19856 KachelY 9587 0.66574766 1.04033237 38.144531 59.606654
    Unten links KachelX 19855 KachelY + 1 9588 0.66555591 1.04023535 38.133545 59.601095
    Unten rechts KachelX + 1 19856 KachelY + 1 9588 0.66574766 1.04023535 38.144531 59.601095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04033237-1.04023535) × R
    9.70200000001142e-05 × 6371000     		dl = 618.114420000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04033237-1.04023535) × R
    9.70200000001142e-05 × 6371000     		dr = 618.114420000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66555591-0.66574766) × cos(1.04033237) × R
    0.000191749999999935 × 0.505933591984018 × 6371000     		do = 618.068333860952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66555591-0.66574766) × cos(1.04023535) × R
    0.000191749999999935 × 0.506017276380096 × 6371000     		du = 618.170566003814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04033237)-sin(1.04023535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505933591984018-0.506017276380096)×R²
    abs(0.66574766-0.66555591)×8.36843960784206e-05×R²
    0.000191749999999935×8.36843960784206e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.36843960784206e-05×40589641000000     		ar = 382068.545585328m²