Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1985 / 1989
↖ ↑ ↗
← N  5.178482°
W  5.537109°		 ← 9 733.10 m → N  5.178482°
W  5.449219°		 →
↑
9 733.74 m
↓
↑
9 733.74 m
↓
N  5.090944°
W  5.537109°		 ← 9 734.43 m →
94 745 968 m²		 N  5.090944°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4847412109375 y=0.4857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4847412109375 × 212)
    floor (0.4847412109375 × 4096)
    floor (1985.5)     		tx = 1985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4857177734375 × 212)
    floor (0.4857177734375 × 4096)
    floor (1989.5)     		ty = 1989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1985 / 1989 ti = "12/1985/1989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1985/1989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1985 ÷ 212
    1985 ÷ 4096     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1989 ÷ 212
    1989 ÷ 4096     		y = 0.485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485595703125 × 2 - 1) × π
    0.02880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.090504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.090504866482666))-π/2
    2×atan(1.09472683509785)-π/2
    2×0.830588944746298-π/2
    1.6611778894926-1.57079632675     		φ = 0.09038156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09038156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.178482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1985 KachelY 1989 -0.09664079 0.09038156 -5.537109 5.178482
    Oben rechts KachelX + 1 1986 KachelY 1989 -0.09510681 0.09038156 -5.449219 5.178482
    Unten links KachelX 1985 KachelY + 1 1990 -0.09664079 0.08885374 -5.537109 5.090944
    Unten rechts KachelX + 1 1986 KachelY + 1 1990 -0.09510681 0.08885374 -5.449219 5.090944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09038156-0.08885374) × R
    0.00152782 × 6371000     		dl = 9733.74121999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09038156-0.08885374) × R
    0.00152782 × 6371000     		dr = 9733.74121999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09510681) × cos(0.09038156) × R
    0.00153398 × 0.995918366454195 × 6371000     		do = 9733.0968301324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09510681) × cos(0.08885374) × R
    0.00153398 × 0.996055102878191 × 6371000     		du = 9734.43315336911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09038156)-sin(0.08885374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995918366454195-0.996055102878191)×R²
    abs(-0.09510681--0.09664079)×0.000136736423996031×R²
    0.00153398×0.000136736423996031×6371000²
    0.00153398×0.000136736423996031×40589641000000     		ar = 94745967.9559363m²