Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19822 / 9616
N 59.445075°
E 37.770996°
← 621.04 m → N 59.445075°
E 37.781982°

621.05 m

621.05 m
N 59.439490°
E 37.770996°
← 621.14 m →
385 724 m²
N 59.439490°
E 37.781982°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604934692382812 y=0.293472290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604934692382812 × 215)
    floor (0.604934692382812 × 32768)
    floor (19822.5)
    tx = 19822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293472290039062 × 215)
    floor (0.293472290039062 × 32768)
    floor (9616.5)
    ty = 9616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19822 / 9616 ti = "15/19822/9616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19822/9616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19822 ÷ 215
    19822 ÷ 32768
    x = 0.60491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9616 ÷ 215
    9616 ÷ 32768
    y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.60491943359375 × 2 - 1) × π
    0.2098388671875 × 3.1415926535
    Λ = 0.65922824
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535
    Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65922824} λ = 0.65922824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675
    φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65922824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.770996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19822 KachelY 9616 0.65922824 1.03751228 37.770996 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 19823 KachelY 9616 0.65941999 1.03751228 37.781982 59.445075
    Unten links KachelX 19822 KachelY + 1 9617 0.65922824 1.03741480 37.770996 59.439490
    Unten rechts KachelX + 1 19823 KachelY + 1 9617 0.65941999 1.03741480 37.781982 59.439490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.03751228-1.03741480) × R
    9.74799999999831e-05 × 6371000
    dl = 621.045079999893m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.03751228-1.03741480) × R
    9.74799999999831e-05 × 6371000
    dr = 621.045079999893m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.65922824-0.65941999) × cos(1.03751228) × R
    0.000191749999999935 × 0.508364108829362 × 6371000
    do = 621.03754863701m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.65922824-0.65941999) × cos(1.03741480) × R
    0.000191749999999935 × 0.508448050558062 × 6371000
    du = 621.140095147502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03741480))×
    abs(λ12)×abs(0.508364108829362-0.508448050558062)×
    abs(0.65941999-0.65922824)×8.39417286997435e-05×
    0.000191749999999935×8.39417286997435e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.39417286997435e-05×40589641000000
    ar = 385724.157384424m²