Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19822 / 9582
↖ ↑ ↗
← N 59.634435°
E 37.770996°		 ← 617.56 m → N 59.634435°
E 37.781982°		 →
↑
617.60 m
↓
↑
617.60 m
↓
N 59.628880°
E 37.770996°		 ← 617.66 m →
381 438 m²		 N 59.628880°
E 37.781982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604934692382812 y=0.292434692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604934692382812 × 215)
    floor (0.604934692382812 × 32768)
    floor (19822.5)     		tx = 19822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292434692382812 × 215)
    floor (0.292434692382812 × 32768)
    floor (9582.5)     		ty = 9582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19822 / 9582 ti = "15/19822/9582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19822/9582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19822 ÷ 215
    19822 ÷ 32768     		x = 0.60491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9582 ÷ 215
    9582 ÷ 32768     		y = 0.29241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60491943359375 × 2 - 1) × π
    0.2098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65922824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29241943359375 × 2 - 1) × π
    0.4151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30426716486249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65922824} λ = 0.65922824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30426716486249))-π/2
    2×atan(3.68498761555089)-π/2
    2×1.30580677883703-π/2
    2.61161355767407-1.57079632675     		φ = 1.04081723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65922824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.770996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04081723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.634435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19822 KachelY 9582 0.65922824 1.04081723 37.770996 59.634435
    Oben rechts KachelX + 1 19823 KachelY 9582 0.65941999 1.04081723 37.781982 59.634435
    Unten links KachelX 19822 KachelY + 1 9583 0.65922824 1.04072029 37.770996 59.628880
    Unten rechts KachelX + 1 19823 KachelY + 1 9583 0.65941999 1.04072029 37.781982 59.628880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04081723-1.04072029) × R
    9.69399999999343e-05 × 6371000     		dl = 617.604739999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04081723-1.04072029) × R
    9.69399999999343e-05 × 6371000     		dr = 617.604739999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65922824-0.65941999) × cos(1.04081723) × R
    0.000191749999999935 × 0.505515305661244 × 6371000     		do = 617.557338871313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65922824-0.65941999) × cos(1.04072029) × R
    0.000191749999999935 × 0.505598944827645 × 6371000     		du = 617.659515759827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04081723)-sin(1.04072029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505515305661244-0.505598944827645)×R²
    abs(0.65941999-0.65922824)×8.363916640175e-05×R²
    0.000191749999999935×8.363916640175e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.363916640175e-05×40589641000000     		ar = 381437.892472863m²