Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19796 / 9556
↖ ↑ ↗
← N 59.778522°
E 37.485352°		 ← 614.87 m → N 59.778522°
E 37.496338°		 →
↑
614.93 m
↓
↑
614.93 m
↓
N 59.772992°
E 37.485352°		 ← 614.97 m →
378 134 m²		 N 59.772992°
E 37.496338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604141235351562 y=0.291641235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604141235351562 × 215)
    floor (0.604141235351562 × 32768)
    floor (19796.5)     		tx = 19796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291641235351562 × 215)
    floor (0.291641235351562 × 32768)
    floor (9556.5)     		ty = 9556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19796 / 9556 ti = "15/19796/9556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19796/9556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19796 ÷ 215
    19796 ÷ 32768     		x = 0.6041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9556 ÷ 215
    9556 ÷ 32768     		y = 0.2916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6041259765625 × 2 - 1) × π
    0.208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65424281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2916259765625 × 2 - 1) × π
    0.416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30925260242297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65424281} λ = 0.65424281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30925260242297))-π/2
    2×atan(3.70340476183995)-π/2
    2×1.30706417869532-π/2
    2.61412835739065-1.57079632675     		φ = 1.04333203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65424281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.485352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04333203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.778522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19796 KachelY 9556 0.65424281 1.04333203 37.485352 59.778522
    Oben rechts KachelX + 1 19797 KachelY 9556 0.65443455 1.04333203 37.496338 59.778522
    Unten links KachelX 19796 KachelY + 1 9557 0.65424281 1.04323551 37.485352 59.772992
    Unten rechts KachelX + 1 19797 KachelY + 1 9557 0.65443455 1.04323551 37.496338 59.772992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04333203-1.04323551) × R
    9.65200000000443e-05 × 6371000     		dl = 614.928920000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04333203-1.04323551) × R
    9.65200000000443e-05 × 6371000     		dr = 614.928920000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65424281-0.65443455) × cos(1.04333203) × R
    0.000191739999999996 × 0.503343895659368 × 6371000     		do = 614.872591145783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65424281-0.65443455) × cos(1.04323551) × R
    0.000191739999999996 × 0.503427294912518 × 6371000     		du = 614.974469633485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04333203)-sin(1.04323551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503343895659368-0.503427294912518)×R²
    abs(0.65443455-0.65424281)×8.33992531502625e-05×R²
    0.000191739999999996×8.33992531502625e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.33992531502625e-05×40589641000000     		ar = 378134.262718525m²